1、第三章 不等关系与不等式 2a bab 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 情境导学观察：这会标中含有怎样的几何图形？思考：图案中有哪些相等关系或不等关系？探究思考ADCBHFGEab22ba 22ba 1、正方形ABCD的 面积S=、四个直角三角形的 面积和S=ab2、S与S有什么 样的不等关系？探究：SS即22ba ab2(ab)ADCBHFGEab22ba ab2(ab)abDABC22ba ab2(ab)当且仅当a=b时，等号成立结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 222aba b此不等式称为重要不等式问题2：是否a,b为任意实数时，都成
2、立？你能证明吗？22a+b2ab探究思考如果用去替换a、b,能得到什么结论?,aba2+b22 a b若aR,bR重要不等式当且仅当a=b时，等号成立(,)002ababab 当且仅当 a=b 时“”号成立 此不等式称为基本不等式基本不等式（特别的）如果a0 ,b0,_ 2abab几何平均数算术平均数均值不等式公式欣赏DABCE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,则CD=,半径为.ab2ab2ACDDCB,CDAC CB,CDab.因为所以即公式欣赏CD小于或等于圆的半径.2abab用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重
3、合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.公式欣赏可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2abab基本不等式 (0,0)2ababab公式欣赏1122aRaaaa1.判断下列推理是否正确：(1).若，则由得(1)101(1)22xxxxx(2).若，则由得 0a 1的最小值是2aa1(1)2的最大值是xx和定积最大公式辨析11(1)0,;xxx例.已知求的最值.21xx1x2121:时原式有最小值即当且仅当解xxxx结论1：两个正数 积为定值 和有最小值 积定，和最小学以致用 例2.(1)如图,用篱笆围成一个
4、面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy2 10020,xy 2()40 xy当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010 xyxxyy解，可得积定值，和最小值例2.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则 2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为x
5、y m22xyxy得 xy 81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC和定值，积最大值应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数 若等号成立，a与b必须能够相等 正定相等积定和最小和定积最大abab2一二三归纳升华;1,0)2(的最值求已知xxx.21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2时有最大值即 当且仅当、解xxxxa与b为正实数1.当堂检测已知函数 ，求函数的最小值)2(23)(xxxxf当堂检测=(x+1)+-11x+1 f(x)=x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当取“=”号.当 x=0 时,函数 f(x)的最小值是 1.x+1=,即 x=0 时,1x+1 解:x-1,x+10.3.求函数 f(x)=x+(x-1)的最值.1x+1 当堂检测221R,2(),a bababab那么当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”2.利用基本不等式求最值1.两个不等式课堂小结应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数 若等号成立，a与b必须能够相等 正定相等积定和最小和定积最大abab2一二三作 业 不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
