1、基础诊断考点突破课堂总结第8讲 立体几何中的向量方法(二)求空间角 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角 l1 与 l2 所成的角 范围(0，)_ 求法cos ab|a|b|cos|cos|_0，2|ab|a|b|基础诊断考点突破课堂总结2.求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为，则 sin
2、_.|cosa，n|an|a|n|3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.AB，CD 基础诊断考点突破课堂总结(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).|cosn1，n2|基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角
3、.()(4)两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0，.()答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破课堂总结2.(教材改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45B.135C.45或135 D.90 解析 cosm，n mn|m|n|11 2 22，即m，n45.两平面所成二面角为 45或 18045135.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结3.(2014全国卷)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BCCACC1，则 BM 与 AN 所成角的
4、余弦值为()A.110B.25C.3010D.22基础诊断考点突破课堂总结解析 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设 BC2，则 B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM(1，1，2)，AN(1，0，2)，故 BM 与 AN 所成角 的余弦值 cos|BM AN|BM|AN|36 53010.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结4.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cosm，n12，则 l 与 所成的角为_.解析 设 l 与 所成角为，cosm，n12，sin|cosm，n|12，090，30.答案 30 基础诊断考点突
5、破课堂总结5.(2017郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析 如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，基础诊断考点突破课堂总结又 CD平面 PAD，CDAE，从而 AE平面 PCD.所以AD(0，1，0)，AE0，12，12 分别是平面 PAB，平面 PCD 的法向量，且AD，AE45.故平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 45.答案 45 基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用空间向量求
6、异面直线所成的角【例 1】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，E 是 PC的中点.已知 AB2，AD2 2，PA2.求：(1)PCD 的面积.(2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.解(1)因为PA底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PACD.又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，基础诊断考点突破课堂总结又 PD平面 PAD，从而 CDPD.因为 PD 22（2 2）22 3，CD2，所以PCD 的面积为1222 32 3.(2)法一 如图 1，取 PB 中点 F，连接 EF，AF，则 EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与
7、AE 所成的角.在AEF 中，由于 EF 2，AF 2，AE12PC2.所以 AF2EF2AE2，AFE90，则AEF 是等腰直角三角形，图1 基础诊断考点突破课堂总结所以AEF4.因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.法二 如图 2，建立空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，C(2，2 2，0)，E(1，2，1)，AE(1,2，1)，BC(0，2 2，0).设AE与BC的夹角为，则cos AEBC|AE|BC|422 2 22，所以 4.由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.图2 基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选
8、好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量 v1，v2；代入公式|cosv1，v2|v1v2|v1|v2|求解.(2)两异面直线所成角的范围是 0，2，两向量的夹角 的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2016上海卷)将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，A1B1 长为3，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧.(1)求三棱锥 CO1A1B1 的体积；(2)求异面直线 B1C 与
9、AA1 所成的角的大小.基础诊断考点突破课堂总结解(1)连接 A1B1，因为A1B1 3，O1A1B1A1O1B13，O1A1B1 为正三角形，SO1A1B112O1A1O1B1sin 60 34.VCO1A1B113OO1SO1A1B1131 34 312，三棱锥 CO1A1B1 的体积为 312.基础诊断考点突破课堂总结(2)以 O 为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1 32，12，1，C32，12，0.AA1(0，0，1)，B1C(0，1，1)，cosAA1，B1C AA1 B1C|AA1|B1C|000（1）1（1）1 02（1）2（1）2 22，AA1，B
10、1C 34，异面直线 B1C 与 AA1 所成的角为4.基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 由已知得 AM23AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN 綉 AM，所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面
11、 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，且 AE AB2BE 2AB2BC22 5.以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N52，1，2，基础诊断考点突破课堂总结PM(0，2，4)，PN52，1，2，AN52，1，2.设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则nPM 0，nPN0，即2y4z0，52 xy2z0，可取 n(0，2，1).于是|cosn，A
12、N|nAN|n|AN|8 525.所以直线 AN 与平面 PMN 所成的角的正弦值为8 525.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(2017宝鸡质检)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.基
13、础诊断考点突破课堂总结(1)证明 连接 AB1，在ABB1 中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，AB21AB2BB212ABBB1cosABB13，AB1 3，BB21AB2AB21，AB1AB.又ABC为等腰直角三角形，且ABAC，ACAB，ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C 平面AB1C，ABB1C.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 AB1 3，ABAC1，B1C2，B1C2AB21AC2，AB1AC.如图，以 A 为原点，以AB，AC，AB1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B1(0，0，3)，B(1，0，0)，C
14、(0，1，0)，BB1(1，0，3)，BC(1，1，0).基础诊断考点突破课堂总结设平面 BCB1 的一个法向量为 n(x，y，z)，由BB1 n0，BCn0，得x 3z0，xy0，令 z1，得 xy 3，平面 BCB1 的一个法向量为 n(3，3，1).AC1 ACCC1 ACBB1(0，1，0)(1，0，3)(1，1，3)，cosAC1，nAC1 n|AC1|n|35 7 10535，AC1 与平面 BCB1 所成角的正弦值为 10535.基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用空间向量求二面角(易错警示)【例3】(2017商丘模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B
15、1BC90，D为AC的中点，ABB1D.(1)求证：平面ABB1A1平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值；(3)求二面角BB1DC的余弦值.基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 取AB中点为O，连接OD，OB1，B1BB1A，OB1AB.又ABB1D，OB1B1DB1，AB平面B1OD，OD平面B1OD，ABOD.B1BC90，即BCBB1，又ODBC，ODBB1，又ABBB1B，OD平面ABB1A1，又OD平面ABC，平面ABC平面ABB1A1.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 由(1)知，OB，OD，OB1 两两垂直.以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴的方向
16、，|OB|为单位长度 1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知 B1(0，0，3)，D(0，1，0)，A(1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，3).基础诊断考点突破课堂总结则B1D(0，1，3)，AC(2，2，0)，CC1(1，0，3).设平面 ACC1A1 的一个法向量为 m(x，y，z)，则由mAC0，mCC1 0，得xy0，x 3z0，取 m(3，3，1).cosB1D，m B1D m|B1D|m|0 31（3）（3）10212（3）2（3）2（3）212 217，直线 B1D 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为 217.基础诊断考点突破课堂总结(3)解 由题设知
17、 B(1，0，0)，则BD(1，1，0)，B1D(0，1，3)，DC(1，1，0).设平面 BB1D 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则由BD n10，B1D n10，得x1y10，y1 3z10，可取 n1(3，3，1).同理可得平面 B1DC 的一个法向量为 n2(3，3，1)，cosn1，n2n1n2|n1|n2|3（3）3 311（3）2（3）212（3）2（3）21217.二面角 BB1DC 的余弦值为17.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面
18、角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.基础诊断考点突破课堂总结易错警示 对于：用线面垂直的判定定理易忽视面内两直线相交；对于：建立空间直角坐标系，若垂直关系不明确时，应先给出证明；对于：线面角的正弦 sin|cosB1D，m|，易误认为 cos|cosB1D，m|；对于：求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：1通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；2当不易观察二面角是锐角还是钝角时可
19、判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定.基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2016南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC.(1)求证：OCPD；(2)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值.基础诊断考点突破课堂总结(1)证明 如图，连接OP.PAPB，O为AB的中点，OPAB.侧面PAB底面ABCD，OP平面ABCD，OPOD，OPOC.ODPC，OD平面OPC，ODOC，又OPOC，OPODO，OC平面OPD，OCPD.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 法一 在矩形 ABCD 中，由(1
20、)得 ODOC，AB2AD，不妨设 AD1，则 AB2.侧面 PAB底面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，DA平面 PAB，CB平面 PAB，DPACPB，DPA 为直线 PD 与平面 PAB 所成的角，DPA30，CPB30，PAPB 3，DPCP2，PDC 为等边三角形.设 PC 的中点为 M，连接 DM，则 DMPC.在 RtCBP 中，过 M 作 NMPC，交 PB 于点 N，连接 ND，则DMN 为二面角 DPCB 的一个平面角.基础诊断考点突破课堂总结由于CPB30，PM1，故在 RtPMN 中，MN 33，PN2 33.cosAPB 3342 3 313，AN22 332322
21、 33 3133，ND2314，cosDMN332342 33 313，即二面角 DPCB 的余弦值为13.基础诊断考点突破课堂总结法二 取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨设AD1，则AB2.侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，DPA为直线PD与平面PAB所成的角，基础诊断考点突破课堂总结DPA30，CPB30，PAPB 3，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，2)，从而PC(1，1，2)，C
22、D(0，2，0).设平面 PCD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，由PCn10，CD n10，得x1y1 2z10，2y10，可取 n1(2，0，1).同理，可取平面 PCB 的一个法向量为 n2(0，2，1).于是 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|13，二面角 DPCB 的余弦值为13.基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.2.合理建立空间直角坐标系(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间
23、直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.基础诊断考点突破课堂总结(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin|cosa，n|，不要误记为cos|cosa，n|.3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
