1、第6课时空间向量的应用证明平行与垂直,求空间角考纲索引1. 用向量表示空间中的点、直线和平面的位置.2. 用向量证明空间中的平行或垂直关系.3. 空间向量求空间角的关系.课标要求1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.2. 能用语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3. 能用向量的方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4. 了解空间向量方法在研究立体几何问题中的应用.5. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题.知识梳理1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量=
2、ta,则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2(或l1与l2重合).(2)设直线l的方向向量为v,与平面共面的两个不共线向量v1和v2,则l或l.(3)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l或l.(4)设平面和的法向量分别为u1,u2,则.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1l2.(2)设直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,则l.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2,则.4.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l
3、2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2所成的角满足cos=.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m,n,则直线l与平面所成的角满足sin=.(3)求二面角的大小如图(1),AB,CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=.如图(2)(3),n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=.5.点面距的求法如图,设AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离d=.基础自测1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是().A. ac,bcB. ab,acC. ac,ab
4、D. 以上都不对2.若平面,垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是().A. n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B. n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C. n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D. n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)3.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面的法向量,若cos=-,则l与所成的角为().A. 30B. 60C. 120D. 150指 点 迷 津【想一想】利用空间向量求角有哪些误区?【答案】(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求;(2)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同
5、,如两向量的夹角范围是0,两异面直线所成的角的范围是;(3)用平面的法向量求二面角时,二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况.考点透析考向一利用空间向量证明平行问题例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.【方法总结】用向量证明线面平行的方法有:(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.变式训练(第1题)考向二利用空间向量证明垂直问题例2如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱
6、长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.【方法总结】证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法将更为灵活方便.变式训练2.(2014安徽淮北一中高三月考)如图,在直三棱柱ABC-ABC中,BAC=90,AB=AC=AA,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)若二面角A-MN-C为直二面角,求的值.(第2题)考向三求异面直线所成的角例3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E,F分别是线段
7、AB,BC上的点,且EB=BF=1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.【方法总结】本题可从两个不同角度求异面直线所成的角.一是把角的求解转化为向量运算,二是体现传统方法(三步:作,证,算),应注意体会两种方法的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键,可平移线段或化为向量的夹角.一般地,异面直线AC,BD的夹角的余弦值为cos=.变式训练3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1= ,求BE1与DF1所成的角的余弦值.(第3题)考向四求二面角例4(2013北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,
8、BC=5.(1)求证:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)求证:在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求的值.【方法总结】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.变式训练4.(2013湖北)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足,记直线
9、PQ与平面ABC所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,二面角E-l-C的大小为,求证:sin=sinsin.(第4题)考向五利用空间向量解决探索性问题例5如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90, .(1)求证:平面PAC平面PCD;(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.【方法总结】对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题.若有解且满足题意,则存在,若有解但不满足题意或无解,则不存在.变式训练5.如图所示,在直三棱柱A
10、BC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中点,试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为?(第5题)经典考题典例(2014浙江)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=. (1)求证:DE平面ACD;(2)求二面角B-AD-E的大小.【解题指南】(1)根据两垂直平面中在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面的性质加以证明线面垂直,也可通过空间向量,利用对应向量与平面的法向量的平行来证明;(2)通过建立空间直角坐标系,结合空间向量的数量积来求解对应的二面角的大小问题.(1)(2)真题体验1. (2014全国新课标)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.(第1题)2. (2014广东)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)证明:CF平面ADF;(2)求二面角D-AF-E的余弦值.(第2题)参考答案与解析 知识梳理基础自测 (第5题)考点透析 变式训练经典考题真题体验
