1、第3章 3.1.5 空间向量的数量积学习目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 4 3.1.5 空间向量的数量积 预习导学 挑战自我，点点落实 知识链接 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？答：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b.规定：0a
2、，b.5 3.1.5 空间向量的数量积预习导引 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角 记法 范围 a，b .当a，b时，a b OAOBa，b0，26 3.1.5 空间向量的数量积2.空间向量的数量积(1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.7 3.1.5 空间向量的数量积(2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)(R)交换律 abba 分配律 a(bc)abac 8 3.1.5 空间向量的数量积(3)数量积的性质 两个向量数量积的性质 若a，b是非零向
3、量，则abab0 若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos|ab|a|b|aaab|a|b|9 3.1.5 空间向量的数量积 课堂讲义 重点难点，个个击破 要点一 空间向量的数量积运算例1 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)BCED1；(2)BFAB1；(3)EFFC1.解 如图，设ABa，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.10 3.1.5 空间向量的数量积(1)BCED1 b12(ca)b|b|24216.(2
4、)BFAB1 ca12b(ac)|c|2|a|222220.(3)EFFC1 12ca12b 12ba12(abc)12ba 12|a|214|b|22.11 3.1.5 空间向量的数量积规律方法 计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算.12 3.1.5 空间向量的数量积跟踪演练1 已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.解析 abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca321242213.1313 3.1.5 空间向量的数量积要点二 利用数量积求夹角例2 如图，
5、在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值.解 因为BCACAB，所以OA BCOA ACOA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB14 3.1.5 空间向量的数量积84cos 13586cos 12016 224.所以 cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25.即 OA 与 BC 所成角的余弦值为32 25.15 3.1.5 空间向量的数量积规律方法 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹
6、角问题；利用向量的数量积求角的大小；证两向量垂直可转化为数量积为零.16 3.1.5 空间向量的数量积跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.证明 MN AB(MB BCCN)AB(MB BC12CD)AB(MB BC12AD 12AC)AB12a2a2cos 12012a2cos 6012a2cos 600，所以MN AB，即 MNAB.同理可证 MNCD.17 3.1.5 空间向量的数量积要点三 利用数量积求距离例3 正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.解 如图
7、所示，设ABa，ACb，AA1 c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为EFEAAA1 A1F 12ABAA1 12AC12a12bc，18 3.1.5 空间向量的数量积所以 EF2|EF|2EF 214a214b2c2212a12b12bc12ac1422142222214 22cos 6011415，所以 EF 5.19 3.1.5 空间向量的数量积规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.
8、aa20 3.1.5 空间向量的数量积解 因为AC1 ABAD AA1，跟踪演练3 如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.所以AC1 2(ABAD AA1)2AB 2AD 2AA1 22(ABAD ABAA1 AD AA1).21 3.1.5 空间向量的数量积因为BAD90，BAA1DAA160，所以AB，AD 90，AB，AA1 AD，AA1 60.所以AC1 21492(13cos 6023cos 60)23.因为|AC1|2AC1 2，所以|AC1|223，|AC1|23，即 AC1 23.22 3.1.
9、5 空间向量的数量积 当堂检测 当堂训练，体验成功 1 2 3 41.若 a，b 均 为 非 零 向 量，则 ab|a|b|是 a 与 b 共 线 的_条件.解析 ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，ab|a|b|不能成立.充分不必要23 3.1.5 空间向量的数量积1 2 3 42.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于_.解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b2 16cos 60913.|a3b|13.1324 3.1.5 空间向量的数量积1 2 3 43.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是_.若ab0，则a0或
10、b0；若a0，则0或a0；若a2b2，则ab或ab；若abac，则bc.25 3.1.5 空间向量的数量积1 2 3 4解析 对于，可举反例：当ab时，ab0；对于，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于，abac可以移项整理推得a(bc).答案 26 3.1.5 空间向量的数量积1 2 3 44.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是_.2BAAC 2AD DB2FG AC 2EFCB27 3.1.5 空间向量的数量积解析 2BAACa2，故错；1 2 3 42AD DB a2，故错；2EFCB12a2，故错，只有正确.答案 28 3.1.5 空间向量的数量积课堂小结空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.
