1、专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题类型一、与线段中点有关的计算1如图，点C在线段AB上，AC8 cm，CB6 cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点(1)求线段MN的长(2)若C为线段AB上任一点，满足ACCBa cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由(第1题)解：(1)因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，所以CMAC84(cm)，CNBC63(cm)所以MNCMCN437(cm)(2)MNa cm.理由如下：同(1)可得CMAC，CNBC，所以MNCMCNACBC(ACBC)a cm.二、与线段中点有关的说明题2画线段MN3 cm，在线段MN上取一点Q，使M
2、QNQ；延长线段MN到点A，使ANMN；延长线段NM到点B，使BN3BM.(1)求线段BM的长；(2)求线段AN的长；(3)试说明点Q是哪些线段的中点解：如图(第2题) (1)因为BN3BM，所以BMMN.因为MN3 cm，所以BM31.5(cm)(2)因为ANMN，MN3 cm，所以AN1.5 cm.(3)因为MN3 cm，MQNQ，所以MQNQ1.5 cm.所以BQBMMQ1.51.53(cm)，AQANNQ3 cm.所以BQQA.所以点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点二、线段分点问题类型一、与线段分点有关的计算(设参法)3如图，B，C两点把线段AD分成243的三部分，M是线段AD的
3、中点，CD6 cm，求线段MC的长(第3题)解：设AB2k cm，则BC4k cm，CD3k cm，AD2k4k3k9k(cm)因为CD6 cm，即3k6，所以k2.所以AD18 cm.又因为M是线段AD的中点，所以MDAD189(cm)所以MCMDCD963(cm)类型二、线段分点与方程的结合4A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动(1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？(2)几秒后，恰好有OAOB12?(第4题)解：(1)设运动时间为x s，依题意得x3124x，解得x1.8.所以1.8 s后，原点恰好在A，B两点
4、正中间(2)设运动时间为t s.点B在原点右侧：124t2(t3)，即t1；点B在原点左侧：4t122(t3)，即t9.所以1 s或9 s后，恰好有OAOB12.三、线段条数的计数问题1先阅读文字，再解答问题(第1题)如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A1为端点的向右的线段有2条，以A2为端点的向右的线段有1条，所以共有213(条)(1)在一条直线上取四个点，以A1为端点的向右的线段有_条，以A2为端点的向右的线段有_条，以A3为端点的向右的线段有_条，共有_(条)(2)在一条直线上取五个点，以A1为端点的向右的线段有_条，以A2为端点的向右
5、的线段有_条，以A3为端点的向右的线段有_条，以A4为端点的向右的线段有_条，共有_(条)(3)在一条直线上取n个点(n2)，共有_条线段(4)乘火车从A站出发，沿途经过5个车站方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况)解：(1)3；2；1；3；2；1；6(2)4；3；2；1；4；3；2；1；10(3)(4)从A站出发，沿途经过5个车站到达B站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段21(条)，即A，B两站之间最多有21种不同的票价因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A，B两站之间需要安排21242(种)不同的车票四、平面内直线相交所
6、得交点与平面的计数问题2为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图(第2题)列表如下：直线条数最多交点个数把平面最多分成部分数102214337(1)当直线条数为5时，最多有_个交点，可写成和的形式为_；把平面最多分成_部分，可写成和的形式为_(2)当直线条数为10时，最多有_个交点，把平面最多分成_部分(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？解：(1)10；1234；16；112345(2)45；56(3)当直线条数为n时，最多有123(n1)个交点；把平面最多分成1123n部分五、关于角的个数的计数问
7、题3有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)解：(1)如题图，已知BAC，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有123(个)角(2)题图中有123(个)角，如果再在题图的角的内部增加一条射线，即为题图，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，即题图中一共有1236(个)角(3)如题图，在角的内部作三条射线，即在题图中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图中一共有123410(个)角(4)综上所述，如果在一个角的内部作n条射线，则图中一共有123n(n1)(个)角
