1、第二章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=()A.14B.13C.12D.34解析:由题设及柯西不等式得|ax+by+cz|(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=20,当且仅当ax=by=cz时取等号,此时令ax=by=cz=k,由题设条件,易得k=12,a+b+cx+y+z=k=12,故选C.答案:C2.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则9x+3y的最小值为()A.22B.4C.12D
2、.6解析:ab,4(x-1)+2y=0.2x+y=2,y=2-2x,9x+3y=9x+32-2x=32x+32-2x232x32-2x=6.当且仅当32x=32-2x,即x=12,y=1时等号成立.答案:D3.若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则3x12+2x22+5x32+x42的最小值是()A.78215B.15782C.3D.253答案:B4.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A.53,109,56B.2029,3029,4029C.1,12,13D.1,14,19解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)(2x+3y
3、+4z)2=100,则x2+y2+z210029.当且仅当x2=y3=z4时,取到最小值,所以联立x2=y3=z4,2x+3y+4z=10,可得x=2029,y=3029,z=4029.答案:B5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:假设n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+(k+2)3+(k3+3k23+3k32+33)=k3+(k+1)
4、3+(k+2)3+(9k2+27k+27),故只需展开(k+3)3即可.答案:A6.用数学归纳法证明不等式1+12+14+12n-112764成立,起始值至少应取()A.7B.8C.9D.10解析:原不等式可化为1-12n1-1212764,即21-12n12764,即2-12n-112764,所以2-1276412n-1,即16412n-1,即12612n-1,故266,故n7,所以n最小取8.答案:B7.设01,n1,且log3mlog3n4,则m+n的最小值为()A.15B.16C.17D.18解析:4log3mlog3nlog3m+log3n22=log32(mn)4,(log3mn)
5、216,mn34.m+n2mn232=18,当且仅当m=n1时等号成立.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.数列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列,则S2,S3,S4分别为,猜想Sn=.答案:32,74,1582n-12n-112.探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+22!+11!(n1,且nN+)的结果时,第一步n=时,A=.解析:n1,且nN+,n取第一个值为2.此时A=11!=1.答案:2113.函数y=1+1sin1+1cos02的最小值是.解析:由柯西不等式,得y=12+1sin212+1cos211+1sin1
6、cos2=1+2sin22(1+2)2=3+22.当且仅当sin=cos,即=4时等号成立.答案:3+2214.用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22,则n=k+1时,左端应在n=k时的基础上加上.解析:令f(n)=1+2+3+n2,则f(k)=1+2+k2,f(k+1)=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2,f(k+1)-f(k)=(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.答案:(k2+1)+(k2+2)+(k+1)215.三角形的三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc,r为三角形内切圆的半径.若ha+hb+hc的值为9r,则此三角形为三角形.解析:记三角形的
7、面积为S,则2S=aha=bhb=chc.又因为2S=r(a+b+c),所以ha+hb+hc=2S1a+1b+1c=r(a+b+c)1a+1b+1c.由柯西不等式,得(a+b+c)1a+1b+1c=(a)2+(b)2+(c)21a2+1b2+1c2a1a+b1b+c1c2=9,所以ha+hb+hc9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时,三角形为等边三角形.答案:等边三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(6分)已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式1x+y+1y+z+1z+x恒成立,求的取值范围.解:由基本不等式及柯西不等式,得1x+y+1y+z+1z+
8、x12xy+12yz+12zx=121zx+y+z+1xx+y+z+1yx+y+z12(12+12+12)zx+y+z+xx+y+z+yx+y+z12=32.故参数的取值范围是32,+.17.(6分)如图,圆C上有n个不同点P1,P2,Pn,设两两连接这些点所得线段PiPj中,任意三条在圆内都不共点,试证它们在圆内共有Cn4个交点(n4).证明:设圆内交点个数为P(n),(1)当n=4时,则P(4)=1=C44,命题成立.(2)假设n=k时,P(k)=Ck4,不妨设第k+1个点在PkP1上,且P1,P2,Pk,Pk+1按逆时针方向排列,依次连接Pk+1P1,Pk+1P2,可增加k条线段,分别考
9、查这k条线段与此前圆内线段的交点个数:与Pk+1P1:0个;与Pk+1P2:k-2个(分别与P1P3,P1P4,P1Pk交得);与Pk+1P3:2(k-3)个(分别与P1P4,P1P5,P1Pk,P2P4,P2Pk交得);与Pk+1P4:3(k-4)个(分别与P1P5,P1Pk,P3Pk交得);与Pk+1Pk-1:(k-2)1个(分别与P1Pk,P2Pk,Pk-2Pk交得),故总共增加:(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+(k-2)(k-1)-(k-2)=k+2k+(k-2)k-12+23+34+(k-2)(k-1)个交点,得P(k+1)=Ck4+k(k-1)(k-2)2-2(C22+C3
10、2+Ck-12)=Ck4+3Ck3-2Ck3=Ck4+Ck3=Ck+14,可见命题当n=k+1时成立,从而对一切n4的自然数n成立.18.(6分)P是ABC内一点,x,y,z是P到ABC的三边a,b,c的距离,R是ABC外接圆的半径,证明x+y+z12Ra2+b2+c2.证明:由柯西不等式,得x+y+z=ax1a+by1b+cz1cax+by+cz1a+1b+1c.设S为ABC的面积,则ax+by+cz=2S=abc2R,x+y+zabc2R1a+1b+1c=abc2Rab+bc+caabc=12Rab+bc+ca12Ra2+b2+c2,原不等式成立.19.(7分)设a,b为正数,nN+,求证
11、:an+bn2a+b2n.证明:(1)当n=1时,a+b2a+b2,显然成立.(2)假设当n=k(kN+,且k1)时,不等式成立,即ak+bk2a+b2k,则当n=k+1时,证明不等式成立,即证明ak+1+bk+12a+b2k+1.在ak+bk2a+b2k的两边同时乘以a+b2,得(a+b)(ak+bk)4a+b2k+1.要证明ak+1+bk+12a+b2k+1,只需证明ak+1+bk+12(a+b)(ak+bk)4.因为ak+1+bk+12(a+b)(ak+bk)42(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,这就证明了当n=k+1时,不等式成立.综合(1)(2)可知,对任何nN+,不等式an+bn2a+b2n.
