1、2015-2016学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1命题：“xQ，x28=0”的否定是_2在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=_3在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2y2=1的渐近线方程是_4已知p：0m1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）5函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是_6在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，3，0），且=2，则点P的坐标是_7已知实数x，
2、y满足，则z=x2y的最大值是_8如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是_9函数f（x）=（e为自然对数的底数）的最大值是_10在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是_11在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=_12如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t0）围成的OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是_13在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y3=0和圆M
3、：x2+（ym）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为3，则实数m的取值范围是_14已知函数y=x33x在区间a，a+1（a0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是_二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（，0），F2（，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1=4，求PF1F2的面积16在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx2y（2m+1）=0与圆M
4、交于点P，Q，且=0，求实数m的值17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，BAC=90，D为线段BC的中点（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角DA1B1A的大小18A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m0）的离心
5、率为（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x1）2+y2=r2（r0）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由20已知函数f（x）=lnx（1）若直线y=2x+p（pR）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x2f（x）（mR）有两个极值点x1，x2，且x1x2求实数m的取值范围；证明：g（x2）x212015-2016学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分.1命题：
6、“xQ，x28=0”的否定是xQ，x280【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“xQ，x28=0”的否定是：xQ，x280故答案为：xQ，x280【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题2在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px经过点（4，2），则实数p=1【考点】抛物线的标准方程【分析】利用抛物线经过的点，求解即可【解答】解：抛物线y2=2px经过点（4，2），可得4=4P，解得p=1故答案为：1【点评】本题考查抛物线才的应用，基本知识考查3在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2y2
7、=1的渐近线方程是y=x【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可【解答】解：双曲线x2y2=1的渐近线方程：y=x故答案为：y=x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题4已知p：0m1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，则p是q的充要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，可得0m1即可判断出结论【解答】解：p：0m1，q：椭圆+y2=1的焦点在y轴上，0m1则p是q的充要条件故答案为：充要【点评】本题考查了椭圆的
8、标准方程、充要条件的判定、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5函数f（x）=x+sinx的图象在点O（0，0）处的切线方程是y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：函数f（x）=x+sinx的导数为f（x）=1+cosx，即有图象在点O（0，0）处的切线斜率为k=1+cos0=2，则图象在点O（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，正确求导是解题的关键6在空间直角坐标系中，已知A（1，0，0），B（4，3，0），且=2，则点
9、P的坐标是（3，2，0）【考点】空间向量运算的坐标表示【分析】设出点P的坐标，用坐标表示出与，根据=2列出方程组，求出点P的坐标【解答】解：设点P（x，y，z），又点A（1，0，0），B（4，3，0），=（x1，y，z），=（4x，3y，z）；又=2，解得，点P的坐标是（3，2，0）故答案为：（3，2，0）【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目7已知实数x，y满足，则z=x2y的最大值是2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：化目标函数z
10、=x2y为，由图可知，当直线过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2故答案为：2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是【考点】双曲线的简单性质【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可【解答】解：设双曲线方程为：，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C（c，2c），代入双曲线方程：，即可得，解得e2=3+2，e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9函数f（x）=（
11、e为自然对数的底数）的最大值是【考点】函数的最值及其几何意义【分析】求出函数的导数，求出单调区间，可得极大值，也为最大值，计算即可得到所求值【解答】解：函数f（x）=的导数为f（x）=，当x1时，f（x）0，f（x）递减；当x1时，f（x）0，f（x）递增即有x=1处取得极大值，且为最大值故答案为：【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题10在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，则点P的轨迹方程是x2+y2+2x3=0【考点】轨迹方程【分析】利用点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，直接计
12、算，即可求出点P的轨迹方程【解答】解：设P（x，y），则点O（0，0），A（3，0），动点P满足2PO=PA，4x2+4y2=（x3）2+y2，x2+y2+2x3=0故答案为：x2+y2+2x3=0【点评】本题考查点P的轨迹方程，考查直接法的运用，比较基础11在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到点A（3，0）的距离等于它到准线的距离，则PA=3【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=1，求出P的横坐标，即可得出结论【解答】解：由抛物线的定义，可得PA=PF，准线方程为x=1A（3，0），F（1，0），P的横坐标为2，PA=2+1=3，故
13、答案为：3【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确运用抛物线的定义是关键12如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t0）围成的OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是2【考点】变化的快慢与变化率【分析】先用t表示出三角形的面积，再求导，代值计算即可【解答】解：由|AB|=t，S（t）=|OA|OB|=tt=t2，S（t）=t，S（2）=2，故答案为：2【点评】本题考查了三角形的面积公式和导数瞬时变化率的几合意义，属于基础题13在平面直角坐标系xOy中，已知直l：x+y3=0和圆M：x2+（ym）2=8，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离
14、为3，则实数m的取值范围是7，15，13【考点】直线与圆的位置关系【分析】设P（2cos，m+2sin），由P到直线l：x+y3=0的距离为3，得=6，由此利用三角函数性质能求出实数m的取值范围【解答】解：圆M：x2+（ym）2=8，圆M上存在点P，设P（2cos，m+2sin），P到直线l：x+y3=0的距离为3，=3，即=6，7m1或5m13，实数m的取值范围是7，15，13【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式和三角函数性质的合理运用14已知函数y=x33x在区间a，a+1（a0）上的最大值和最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是a=
15、1或0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可【解答】解：y=f（x）=3（x+1）（x1），函数在在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，a=0时，函数在0，1递减，函数的最大值是f（0）=0，函数的最小值是f（1）=2，f（0）f（1）=0（2）=2，故a=0符合题意；0a1时，1a+12，函数在a，1）递减，在（1，a+1递增，函数的最小值是f（1）=2，由f（a）=f（a+1），得3a2+3a2=0，解得：a=，（i）0a时，f（x）的最大值是f（a），a33a（2）=2
16、，解得a=0或或，不合题意，舍，（ii）a1时，f（x）的最大值是f（a+1），（a+1）33（a+1）（2）=2，解得a=1，符合题意，a1时，f（x）在a，a+1递增，f（x）min=f（a），f（x）max=f（a+1），（a+1）33（a+1）a3+3a=2，解得：a=1，舍，综上：a=1或0【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题二、解答题：本大题共6小题，共计58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为F1（，0），F2（，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭
17、圆C上，且PF1=4，求PF1F2的面积【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）设椭圆方程为=1，（ab0），由椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（，0），F2（，0），求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程（2）由点P在椭圆C上，且PF1=4，求出PF2，|F1F2|，由此能求出PF1F2的面积【解答】解：（1）椭圆C过点（0，2），其焦点为F2（，0），F2（，0），设椭圆方程为=1，（ab0），则， =3，椭圆C的标准方程为=1（2）点P在椭圆C上，且PF1=4，PF2=234=2，F1（，0），F2（，0），|F1F2|=2，PF1PF2，PF1F2的面积S=
18、4【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用16在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx2y（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且=0，求实数m的值【考点】平面向量数量积的运算；圆的一般方程【分析】（1）由点的坐标求出弦的中垂线方程，联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆的方程可求；（2）由题意可知PMQ=90，结合圆的半径求出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求解【解答】解：（1）如图，AB所在直线方程为x=2，AC所在直线方程为y=x，联立，解得M
19、（2，2），又|MA|=，圆M的方程为（x2）2+（y2）2=5；（2）=0，PMQ=90，则|PQ|=，M到直线mx2y（2m+1）=0的距离为由，解得：m=【点评】本题考查圆的方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题17如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=2，AA1=1，BAC=90，D为线段BC的中点（1）求异面直线B1D与AC所成角的大小；（2）求二面角DA1B1A的大小【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D与A
20、C所成角的大小（2）求出平面A1B1D的法向量和平面A1B1A的法向量，利用向量法能求出二面角DA1B1A的大小【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，1），D（），=（，1），=（0，2，0），设异面直线B1D与AC所成角为，则cos=，=异面直线B1D与AC所成角的大小为（2）=（2，0，0），=（），设平面A1B1D的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，3），又平面A1B1A的法向量=（0，1，0），设二面角DA1B1A的平面角为，则cos=，=，二面角DA1B
21、1A的大小为【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数，设全程的运输成本为y元（1）求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）求出汽车从A地匀速行驶到B地所用时间，根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全
22、程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得结论【解答】解：（1）依题意知汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为，全程运输成本为y=（250+），即y=300（+），定义域为（0，60，（2）y=300（+）=300（+）3003=2250，当且仅当=，即v=50km/h时，全程运输成本最小，最小为2250元【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值19在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（m0）的离心率为（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆（x1）2+y2=r2（r0
23、）相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，其满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值？若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由已知得a2=m+8，b2=m，c2=a2b2=8， =，由此能求出m的值（2）椭圆C的方程为=1，A（0，2），线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），代入椭圆方程得整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，由此利用直线方程、点到直线的距离公式，能求出结果【解答】解：（1）椭圆C： +=1（m0）的离心率为，a2=m+8，b2=m，c2
24、=a2b2=8，离心率为， =，解得m=4（2）由（1）知椭圆C的方程为=1，A（0，2），假设存在椭圆C的一条弦AB满足条件，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的直线为x=0，符合题意，此时，P（0，0），r=1当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2，P（x0，y0），由，消去y，整理，得：（1+3k2）x2+12kx=0，解得x=0，或x=，由k=1，得3k2+4k+1=0，解得k=1或k=直线AB：y=x+2，r=，或直线AB：y=，r=综上，存在这样的弦AB，直线AB：x=0，r=1，或直线AB：y=x+2，r=，或直线AB：y=，r=【点评】本题考查实数值的求法，考查直
25、线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用20已知函数f（x）=lnx（1）若直线y=2x+p（pR）是函数y=f（x）图象的一条切线，求实数p的值；（2）若函数g（x）=x2f（x）（mR）有两个极值点x1，x2，且x1x2求实数m的取值范围；证明：g（x2）x21【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，求出切点的坐标，代入切线方程求出p的值即可；（2）求出函数f（x）有两个极值点x1，x2，等价于方程x22x+m=0在（0，+），直接推出结果通过，推出0m1，构造新函数g（t）=t2lnt1，1t2，利用新
26、函数的单调性证明，求解即可【解答】解：（1）f（x）=lnx的定义域是（0，+），f（x）=，若直线y=2x+p（pR）是函数y=f（x）图象的一条切线，=2，解得：x=，y=f（x）=ln=ln2，将（，ln2）代入y=2x+p，得：p=y2x=ln21；（2）函数g（x）=x2lnx的定义域为（0，+），f（x）=，令g（x）=0，得x22x+m=0，其判别式=44m，当0，即m1时，x22x+m0，g（x）0，此时，g（x）在（0，+）上单调递增，函数g（x）无极值点；当0，即m1时，方程x22x+a=0的两根为x1=1，x2=1+1，若m0，则x10，则x（0，x2）时，g（x）0，x
27、（x2，+）时，g（x）0，此时，g（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增，函数g（x）有1个极值点；若m0，则x10，则x（0，x1）时，g（x）0，x（x1，x2）时，g（x）0，x（x2，+）时，g（x）0，此时，g（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增，函数g（x）有2个极值点；综上，0m1；证明：由得0m1，x2=1+，且1x22，m=+2x2，g（x2）x2+1=x22lnx2x2+1=x22lnx21，令h（t）=t2lnt1，1t2，则h（t）=1=，由于1t2，则h（t）0，故h（t）在（1，2）上单调递减，故h（t）h（1）=12ln11=0，g（x2）x2+1=h（x2）0，g（x2）x21【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用
