1、6.函数与导数1.已知函数f(x)ln x1，aR.(1)若关于x的不等式f(x)x1在1，)上恒成立，求a的取值范围；(2)设函数g(x)，证明：当a时，g(x)在1，e2上不存在极值.(1)解由f(x)x1，得ln x1x1.即axln xx22x在1，)上恒成立.设m(x)xln xx22x，x1，则m(x)ln x2x1.x1，)，ln x0，2x10.当x1，)时， m(x)ln x2x11，即a的取值范围是(1，).(2)证明g(x)，x1，e2.g(x).设h(x)2xxln x2a，x1，e2，则h(x)2(1ln x)1ln x.令h(x)0，得xe.当1x0；当exe2时，
2、 h(x)0，则g(x)2axb，由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得，g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时， g(x)，由g(x)0得0x1，由g(x)1；若0时，由g(x)0得x1或0x，由g(x)0得x1，即0a0得x或0x1，由g(x)0得1x；若1，即a时，在(0，)上恒有g(x)0.综上得，当a0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；在(1，)上单调递增.3.已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数).(
3、1)当a5时，求函数g(x)的图象在x1处的切线方程；(2)求f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x2，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a5时，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e，所以切线方程为ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)函数f(x)xln x的定义域为(0，).因为f(x)ln x1，所以在(0，)上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值(最小值)当t时，在区间t，t2上，f(x)为增函数，所以f(x)minf(t
4、)tln t，当0t0，则h(x)1.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h3e2，h(e)e2，h(1)4，所以h(e)h42e0，所以h(e)0，即a1时，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，0x0恒成立，h(x)的单调递增区间为(0，).当a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，h(x)minh(e)ea0，a，e1，a；当a11，即a0时，h(x)在1，e上单调递增，h(x)minh(1)11a0，a2；当1a1e，即0ae1时，h(x)minh(1a)2aaln(1a)0，0ln(1a)1，0aln(1a)2，此时不存在x0，使h(x0)0成立.综上，实数a的取值范围为(，2.
