1、吉林省松原市长岭县第二中学2021届高三数学下学期开学摸底考试试题1.已知集合，则( )A.B.C.D.2.已知复数z满足，则( )A.2B.C.1D.3.若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A.10 B.20 C.30 D.1204.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,则等于( )A.B.C.D.5.为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：).根据所得数据画出样本频率分布直方图，如图9-6所示，那么在这片树木中，底部周长小于的株数大约是( ). A.3000 B.6000 C.7000 D.80006.某公司为激励创新,计划逐年加大
2、研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长,则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是( ) (参考数据: ,)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年7.已知为平面向量,则夹角的余弦值等于( )A.B.C.D.8.已知角的起点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点且则 ( )A. B. C. D. 9.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. B. C. D. 10.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球的表面积为_. 11.已知椭圆，直线与椭圆交
3、于两点，若，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.12.若函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.13.若满足约束条件，则的取值范围是 .14.已知,则等于_.15.设抛物线的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_.16.已知，则的值是 .17.将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为_.18.在等比数列中，前n项和为是和的等差中项.（1）求的通项公式；（2）设，求的最大值. 19.如图,三棱柱中,. (1)证明:；(2)若,求三棱柱的体积. 20.已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，焦距为.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆C有两个不
4、同的交点，设D为直线上一点，且直线的斜率的积为.证明：点D在x轴上.答案以及解析1.答案：C解析：由已知可得，又，故选C.2.答案：A解析：由题意得，所以，故选A.3.答案：B解析：，该式为，其展开式的通项为，令，得，常数项为，故选B.4.答案：C解析：将双曲线C化为标准方程，则，.由双曲线定义，知 .又，.故选C.5.答案：C解析：底部周长小于的频率为，所以底部周长小于的株数大约是.故选C.6.答案：B解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元，则,即，因为x取整数,所以，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019 年.故选B.7.答案：C解析：设,则
5、,得,故.故选C.8.答案：B解析：根据题的条件,可知三点共线,从而得到,因为,解得,即,所以.故选B.9.答案：B解析：由题意,将函数的图象向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,，即,故选B.10.答案：解析：由三视图可知,该几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱长是2，易知三棱柱的两个底面的中心所连线段的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径,则半径,所以球的表面积为.11.答案：C解析：设，由得，所以因为，所以，得，所以椭圆的离心率.故选C.12.答案：C解析：由题意知,当时,函数在R上单调递增,没有两个不同的零点；当时,由=0得,函数在上单调递增,函数在上单调
6、递减,故在处取得最小值,所以,得,所以的取值范围为,故选C.13.答案：解析：画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分，由，得.由，得.由，得.将化成.设点，过点D作于点E，则当以点为圆心的圆经过点A时，z取得最大值，经过点时，z取得最小值，.所以z的取值范围为. 14.答案：解析：由题意得,所以,所以,于是.15.答案：解析：因为抛物线的方程为，所以焦点F为，准线l的方程为，点F到直线l的距离为2.即圆的半径为2，圆心为，故所求圆的方程为.16.答案：解析：因为，所以，得.17.答案：解析：数列表示首项为1,公差为2的等差数列,各项均为正奇数,而数列表示首项为1,公差为3的等差数列,各项
7、分别为交替出现的正奇数与正偶数,它们的公共项为数列中的奇数项,所以是首项为1,公差为6的等差数列,其前项和.18.答案：（1）由题意得，即，设等比数列的公比为q，则有，解得，.（2），设，当或4时，取到最小值，的最大值为64.19.答案：(1)如图,取的中点,连接. 因为,所以.由于,故为等边三角形,所以.因为,所以平面.又平面,故.(2)由题设知与都是边长为2的等边三角形,所以.又,则,故.因为,所以平面,即为三棱柱的高.又的面积,故三棱柱的体积.20.答案：（）设椭圆C的标准方程为，由题知，所以，故椭圆C的方程为.（）证明：设点，则，所以直线的斜率，因为直线的斜率的积为，所以直线的斜率.直线的方程为，直线的方程为，联立，得点D的纵坐标为，因为点M在椭圆C上，所以，则.所以点D在x轴上.
