1、2.2抛物线的简单性质课后作业提升1抛物线y2=ax(a0)的准线是x=-1,那么它的焦点坐标是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)解析:准线为x=-=-1,a=4,即y2=4x.焦点坐标为(1,0).答案:A2抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是()A.1B.2C.4D.8解析:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线为x=-2,所以焦点到准线的距离为4.答案:C3设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=()A.4B.8C.8D.16解析:直线AF的方程为y=-(x-2),联立得y=4,所以点
2、P的坐标为(6,4).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.答案:B4过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则A1FB1为()A.45B.60C.90D.120解析:设抛物线的方程为y2=2px(p0).如图,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,AA1F=AFA1,BFB1=FB1B.又AA1OxB1B,A1FO=FA1A,B1FO=FB1B.A1FB1=AFB=90.答案:C5(2013江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|
3、=()A.2B.12C.1D.13解析:射线FA的方程为x+2y-2=0(x0).如图所示,知tan=,sin=.由抛物线的定义知|MF|=|MG|,=sin=.故选C.答案:C6对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是.(要求填写适合条件的序号)解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,适合.又抛物线的焦点坐标为F,原点O(0,0),设点P(2,1),可得kPOkPF=-1,也适合.而显然不适合
4、,通过计算可知不合题意.应填序号为.答案:7抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则经过焦点且倾斜角为135的直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义,得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+x2+,x1+x2+=8.又点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0.x1+x2=3p.将其代入,得p=2.所求抛物线的方程为y2=4x.当抛物线的方程设为y2=-
5、2px时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.8(2013福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2.又|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=,此时0.所以圆心C的坐标为.从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.
