1、2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果A=x|x1，那么正确的结论是（）A0ABxACAD0A2已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，4，5，B=2，3，4，则A（UB）=（）A4B1，5C2，3D1，2，3，53关于函数f（x）=x3x的奇偶性，正确的说法是（）Af（x）是奇函数但不是偶函数Bf（x）是偶函数但不是奇函数Cf（x）是奇函数又是偶函数Df（x）既不是奇函数也不是偶函数4设函数f（x）=，则f（）=（）ABCD165下列四组函数，表示同
2、一函数的是（）A，g（x）=xBf（x）=x，Cf（x）=x，Df（x）=lnx2，g（x）=2lnx6当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）Ay=100xBy=log100xCy=x100Dy=100x7已知，则a，b，c之间的大小关系为（）AabcBbacCbcaDacb8当0a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD9已知函数f（x）=7+ax1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A（1，8）B（1，7）C（0，8）D（8，0）10若函数在区间（，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，则a=（）A1B1C1D不存在11函数f（x）=的零点的
3、情况是（）A仅有一个或0个零点B有两个正零点C有一正零点和一负零点D有两个负零点12若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x）+2在（0，+）上有最大值8，则在（，0）上，F（x）有（）A最小值8B最大值8C最小值6D最小值4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是14设函数f（x）=x2+2x+3，x0，3的最大值和最小值分别是M，m，则M+m=15已知，则f（）=16给出下列四个判断：在定义域上单调递减；函数f（x）=2xx2恰有两个零点；函数有最大值1；若奇函数f（x）满足x0时，f（x）=x
4、2+x，则x0时，f（x）=x2+x其中正确的序号是三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（1）计算：；（2）计算：18已知全集U=R，A=x|4x2，B=x|1x3，P=x|x0，或x，Q=x|a2xa+2（1）求AB；（2）求（UB）P；（3）若ABQ，求实数a的取值范围19（1）求函数的定义域；（2）求函数（a0，且a1）的值域20已知函数f（x）=log2x+ax+2（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明21已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3
5、043（1）求实数a的值；（2）证明函数f（x）在区间1，+）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.012n）+f（2016）f（0）22给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m2x+1+x+2m24是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围2015-2016学年广东省深圳市红岭中学高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给了的四个选项
6、中，只有一项是符合题目要求的1如果A=x|x1，那么正确的结论是（）A0ABxACAD0A【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断【专题】集合【分析】元素和集合之间用“”表示，集合间用“”、“”等表示【解答】解：0是元素，A是集合，0A是错误的；x表示集合与A不能用“”，是集合，与集合A之间不能用“”，又0A，故选：D【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题2已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，4，5，B=2，3，4，则A（UB）=（）A4B1，5C2，3D1，2，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；转化法；集合【分析】根据题意
7、求出UB，即可求出AUB【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，4，5，B=2，3，4，UB=1，5，AUB=1，5故选：B【点评】本题考查了集合之间的交、并、补的混合运算问题，是基础题目3关于函数f（x）=x3x的奇偶性，正确的说法是（）Af（x）是奇函数但不是偶函数Bf（x）是偶函数但不是奇函数Cf（x）是奇函数又是偶函数Df（x）既不是奇函数也不是偶函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：f（x）=x3x，f（x）=x3+x=（x3x）=f（x），则函数f（x）是奇函数但不是偶函数，故选：A【点
8、评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键4设函数f（x）=，则f（）=（）ABCD16【考点】分段函数的应用【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+22=4，f（）=f（）=1=故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5下列四组函数，表示同一函数的是（）A，g（x）=xBf（x）=x，Cf（x）=x，Df（x）=lnx2，g（x）=2lnx【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否
9、则不是同一函数【解答】解：Af（x）=|x|，两个函数的对应法则不同，所以A不是同一函数Bf（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为（，0）（0，+），所以定义域不同，所以B不是同一函数Cg（x）=x，两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数Df（x）的定义域为（，0）（0，+），而g（x）的定义域为（0，+），所以定义域不同，所以D不是同一函数故选：C【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数6当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）Ay=100xBy=log100xCy=x100Dy=100x
10、【考点】指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长最快【解答】解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=100x增长速度最快故选D【点评】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的增长速度的快慢，属于基础题7已知，则a，b，c之间的大小关系为（）AabcBbacCbcaDacb【考点】对数值大小的比较【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可比较a、b、c的大小【解答】解：a=1，且a0；b=30=1，c=log3log1=0；cab，即bac故：B【
11、点评】本题考查了利用指数函数与对数函数的图象与性质比较函数值大小的应用问题，是基础题目8当0a1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y=logax的图象是（）ABCD【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质【专题】压轴题；数形结合【分析】先将函数y=ax化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：函数y=ax与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0a1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减故选C【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力9已知函数f（x）=7+
12、ax1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A（1，8）B（1，7）C（0，8）D（8，0）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a0，a1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标【解答】解：由指数函数y=ax（a0，a1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=7+ax1（a0，a1）的图象，可将指数函数y=ax（a0，a1）的图象向右平移1个单位，再向上平移7个单位则（0，1）点平移后得到（1，8）点点P的坐标是（1，8）故选A【点评】本题考查的知识点是指数函数的图
13、象与性质，其中根据函数y=7+ax1（a0，a1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键10若函数在区间（，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，则a=（）A1B1C1D不存在【考点】二次函数的性质【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】由题意得到f（x）的对称轴为x=1，且a0，再根据对称轴公式代值求出a的值【解答】解：函数在区间（，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，函数f（x）的对称轴为x=1=，且a0，解的a=1，故选：B【点评】本题考查二次函数图象特征和单调性，以及不等式的解法，属于基础题11函数f（x）=的零点的情况是（）
14、A仅有一个或0个零点B有两个正零点C有一正零点和一负零点D有两个负零点【考点】函数的零点【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：C【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用12若f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=f（g（x）+2在（0，+）上有最大值8，则在（，0）上，F（x）有（）A最小值8B最大值8
15、C最小值6D最小值4【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】由奇函数的定义可得，f（x）=f（x），g（x）=g（x），令h（x）=f（g（x），可得h（x）也为R上的奇函数，由题意可得h（x）在（0，+）上有最大值6，则h（x）在（，0）上有最小值6，即可得到答案【解答】解：f（x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，即有f（x）=f（x），g（x）=g（x），令h（x）=f（g（x），h（x）=f（g（x）=f（g（x）=f（g（x）=h（x），即h（x）为R上的奇函数由F（x）在（0，+）上有最大值8，即h（x）在（0，+）上有最大值6，则h（x）在
16、（，0）上有最小值6，则F（x）在（，0）上有最小值6+2=4故选D【点评】本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义和性质，考查运算能力，属于基础题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据幂函数的概念设f（x）=x，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式【解答】解：设f（x）=x，幂函数y=f（x）的图象过点 （4，2），4=2=这个函数解析式为故答案为：【点评】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题14设
17、函数f（x）=x2+2x+3，x0，3的最大值和最小值分别是M，m，则M+m=4【考点】二次函数在闭区间上的最值【专题】计算题；函数思想；配方法；函数的性质及应用【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值【解答】解：f（x）=x2+2x+3=（x1）2+4，x0，3抛物线的对称轴为x=1，x=1时y有最大值4，x=3时y有最小值9+6+3=0M+m=4+0=4故答案为：4【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用15已知，则f（）=1【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分
18、析】由已知条件利用函数的性质和有理数指数幂性质求解【解答】解：，f（）=f（21）=+3=1故答案为：1【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用16给出下列四个判断：在定义域上单调递减；函数f（x）=2xx2恰有两个零点；函数有最大值1；若奇函数f（x）满足x0时，f（x）=x2+x，则x0时，f（x）=x2+x其中正确的序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据函数的性质分别进行判断即可【解答】解：在定义域上单调递减，错误，比如11，但f（1）f（1）不成立，故错误；由f（x）=2xx2=0得2x=x2，
19、分别作出函数y=2x和y=x2的图象，由图象知两个函数有3个交点，即函数f（x）=2xx2恰有3个零点；故错误，函数（）0=1，即函数有最大值1；故正确，若奇函数f（x）满足x0时，f（x）=x2+x，则x0时，x0，即f（x）=x2x=f（x），即f（x）=x2+x，x0故正确，故正确是结论是，故答案为：【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，函数的零点以及函数奇偶性的应用，综合性较强三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（1）计算：；（2）计算：【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用
20、【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可（2）利用对数运算法则化简求解即可【解答】解：（1）=+1+=4（5分）（2）=（10分）【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题18已知全集U=R，A=x|4x2，B=x|1x3，P=x|x0，或x，Q=x|a2xa+2（1）求AB；（2）求（UB）P；（3）若ABQ，求实数a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；分析法；集合【分析】（1）直接由集合A、B，则AB可求；（2）由集合B求出UB，则（UB）P可求；（3）由ABQ，列出不等式组，解不等式组则答案可求【解答】解：（1）U=R，A=x
21、|4x2，B=x|1x3，P=x|x0，或x，Q=x|a2xa+2，AB=x|4x2x|1x3=x|1x2；（2）UB=x|x1或x3，（UB）Px|x1或x3x|x0，或x=x|x0或x；（3）ABQ，解得0a1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题19（1）求函数的定义域；（2）求函数（a0，且a1）的值域【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用【分析】（1）由题意得，从而求函数的定义域；（2）由配方法可得x2+2x+3=（x1）2+44，再讨论a以确定对数函数的单调性，从而求值域【解答】解：（1）由题意得，解得，0x5，且x4，函数f
22、（x）的定义域是（0，4）（4，5；（2）t=x2+2x+3=（x1）2+44，当0a1时，f（x）loga4，即函数的值域是loga4，+）；当a1时，f（x）loga4，即函数的值域是（，loga4【点评】本题考查了函数的定义域与值域的求法，同时考查了分类讨论的思想应用及配方法与单调性的应用20已知函数f（x）=log2x+ax+2（1）当a=0时，求函数f（x）的零点；（2）当a=1时，判断函数f（x）在定义域内的零点的个数并给出代数证明【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用【分析】（1）由a=0，解方程log2x+2=0，可得零点；（2）求得f（1）
23、0，f（）0，判断f（x）的单调性，再由零点存在定理，即可判断零点的个数【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=log2x+2=0，即log2x=2，解得，函数f（x）的零点是；（2）当a=1时，f（x）=log2x+x+2，f（1）=（log21+1+2）=30，且f（x）的图象在定义域内连续，f（x）在区间内有一个零点，又f（x）在定义域内单调递增，故f（x）在定义域内恰有一个零点【点评】本题考查函数的零点的求法和判断，注意运用方程的思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题21已知函数为奇函数，及lg2=0.3010，lg2.015=0.3043（1）求实数a的值；（2）证明函数f
24、（x）在区间1，+）上是减函数；（3）求最小的正整数n，使得f（1+0.012n）+f（2016）f（0）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义即可证明函数f（x）在区间1，+）上是减函数；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可【解答】解：（1）由f（0）=0，求得（3分）（2）由（1）可知，设x1，x21，+），设x1x2，则（4分），1x1x2，f（x1）f（x2），f（x）在区间1，+）上是减函数； （7分）（3）f（x）为奇函数，f（0
25、）=0，f（2016）=f（2016），（8分）所以原式可化为f（1+0.012n）f（2016），由（2）可知函数f（x）在1，+）上单调递减，且1+0.012n1，1+0.012n2016，即2n201500，（10分）两边取对数，得nlg2lg2.015+5，即0.3010n5.3043，解得n17.62，故最小的正整数n的值为18（12分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用定义法是解决本题的关键22给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=
26、4x+m2x+1+x+2m24是爬坡函数，求实数m的取值范围；（3）若对任意的实数b，函数都不是爬坡函数，求实数c的取值范围【考点】函数恒成立问题【专题】综合题；新定义；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】（1）利用定义直接判断f（x）0恒成立即可；（2）由题意可知，4x+m2x+1+2m240恒成立，利用换元思想，设2x=t，则t0，上式变为t2+2mt+2m240，分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；（3）由题意可知，对任意的实数b，存在x，使得，相当于f（x）x=0有两不相等的实根，得出，即b2b+14c0对任意的实数b恒成立，在利用二次函数的性质可知【解答】解：（1），f（x）x恒成立，即得函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（3分）（2）由题意可知，4x+m2x+1+x+2m24x恒成立，4x+m2x+1+2m240恒成立设2x=t，则t0，上式变为t2+2mt+2m240，设g（t）=t2+2mt+2m24=（t+m）2+m24（t0）若m0，则，解得m2；若m0，则g（0）=2m240，解得；综上所述，m的取值范围是m2或；（9分）（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得，即，故，即b2b+14c0对任意的实数b恒成立，解得（14分）【点评】考查了新定义类型的解题方法，应紧扣定义，用到了二次函数对称轴的讨论和最值问题的转换
