1、巩固双基,提升能力一、选择题1(2013泸州诊断)方程1(k8)所表示的曲线是()A直线B椭圆C双曲线 D圆解析：根据方程特点知25k9k0，因此此曲线为椭圆答案：B2(2013金华联考)若ab0，则方程(axyb)( bx2ay2ab)0表示的曲线只可能是()A.B.C.D.解析：(axyb)(bx2ay2ab)0axyb0或bx2ay2ab0，即yaxb或1，结合选项可知，选C.答案：C3(2013焦作模拟)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：设P(x，y)，圆心为M(1,
2、0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|.即|PM|22，(x1)2y22. 答案：D4曲线y与曲线y|ax|0(xR)的交点个数一定是()A两个 B4个C0个 D与a的值有关解析：如图所示，据数形结合的方法当a0时，y0，有两个公共点；当a0时，y|a|x(y0)，亦有两个公共点答案：A5(2013大连、沈阳联考)已知F1、F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1 (y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) Dx21(y0)解析：设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入1，得重心G
3、的轨迹方程为3y21(y0)答案：C6(2013延边检测)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：x(ymxm)0有三个不同的交点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析：曲线C1表示圆(x1)2y21，曲线C2表示两条直线x0，ym(x1)，若要两曲线有三个交点，只需直线ym(x1)与圆有两个交点，但m0，因此有01，解得m.答案：B二、填空题7(2013苏锡常镇调研)已知点M与双曲线1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为_解析：可得双曲线的左、右焦点分别为F1(5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有，代入整理得x2y226x250.答案：x2y226x2508若动
4、点P在曲线y2x21上移动，则点P与点Q(0，1)连线中点的轨迹方程是_解析：设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)，Q(0，1)， P(x1，y1)在曲线y2x21上，y12x1.2y12(2x)21，化简得y4x2.PQ中点的轨迹方程为y4x2. 答案：y4x29已知两定点A(1,0)，B(2,0)，动点P满足，则P点的轨迹方程是_解析：设P(x，y)，则根据两点间距离公式，得|PA|，|PB|，又，.整理，得(x2)2y24即为所求. 答案：(x2)2y24三、解答题10(2013济南调研)已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的
5、轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，于是点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，故所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意，直线l2的方程为ykx1，与抛物线方程联立，消去y，得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.因为直线PQ的斜率k0，易得点R的坐标为，(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448，k22，当且仅当k21时取到等号，42816，即的最小值为16. 11在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关
6、于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x3交于点M、N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解析：(1)因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)由题意，得.化简，得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)(2)方法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M、N的坐标分别为(3，yM)、(3，yN)，则直线AP的方程为y1(x1)，直线BP的方程为y1(x1)令x3，得yM，yN.于是PMN的面积SPMN
7、|yMyN|3x0|.又直线AB的方程为xy0，|AB|2，点P到直线AB的距离d，于是PAB的面积SPAB|AB|d|x0y0|.当SPABSPMN时，得|x0y0|.又因为|x0y0|0，所以(3x0)2|x1|，解得x0.因为x3y4，所以y0.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为.方法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，则|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN.因为sinAPBsinMPN，所以.所以.即(3x0)2|x1|，解得x0.因为x3y4，所以y0.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为
8、. 12(2013陕西调研)设x，yR，i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由解析：(1)axi(y2)j，bxi(y2)j，且|a|b|8，点M(x，y)到两个定点F1(0，2)，F2(0,2)的距离之和为8.点M的轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，其方程为1.(2)l过y轴上的点(0,3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时0.P与Q重合，与四边形OAPB是菱形矛盾于是假设直线l的斜率存在，其方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消y，得(43k2)x218kx210.此时(18k)24(43k2)(21)0恒成立，且x1x2，y1y2k(x1x2)6.，四边形OAPB是平行四边形若存在直线l使得四边形OAPB是菱形，则|.(x1，y1)，(x2，y2)，xyxy.xxyy0.(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.(k21)(x1x2)6k0，k0.故存在这样的直线l，使四边形OAPB为菱形，其方程为y3.
