1、第二章 函数、导数及其应用2.5对数函数、幂函数【高考目标定位】一、考纲点击1、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。（4）了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）2、幂函数（1）了解幂函数的概念。（2）结合函数y=x，y=x2，y=x3，的图象，了解它们的变化情况。二、热点提示1、对数函数（1）对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结
2、合及运算能力为主。（2）以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题。2、幂函数（1）常以5种幂函数为载体，考查幂函数的图象及性质；（2）多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。【考纲知识梳理】 一、对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数表格 1对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，。（2）对数的重要公式：换底公式：；，推广。（3）对数的
3、运算法则：如果，那么；R）；。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。0cd1a1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x， y=x-1；当0x01,f(x)0.g(x)0,则logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0;0a0,g(x)0,则logaf(x)logag(x) 0
4、f(x)b1，如图1.当f(x)1时，logbf(x)logaf(x);当0f(x) logbf(x).若1ab0,如图2。当f(x)1时，logbf(x) logaf(x);当1f(x)0时，logaf(x) logbf(x).若a1b0。当f(x)1时，则logaf(x) logbf(x);当0f(x)时，则logaf(x)logbf(x).（3）比较大小常用的方法作差（商）法；利用函数的单调性；特殊值法（特别是1和0为中间值）2、例题解析例对于，给出下列四个不等式：；其中成立的是（ ）（A）与（B）与（C）与（D）与分析：从题设可知，该题主要考查与两个函数的单调性，故可先考虑函数的单调性
5、，再比较大小。解答：选D。0a1,a,1+a1，1则点A、B的纵坐标分别为、。因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D的坐标分别为（，）、（，）由于OC的斜率为=，OD的斜率为，由此可知，即O、C、D在同一直线上。注：在解答过程中易出现三点共线不会证或找不到与关系无法进行正确地转化，并且求解坐标进忽略函数定义域的情况，导致此种错误的原因是：没有正确地理解题意，没有熟练地掌握三点共线与斜率相等的关系，或对、的范围没有搞清楚。（2）由于BC平行于轴，知=，即得=，代入，得由于，知故考虑，解得，于是点A的坐标为（，）注：本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思
6、路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解。例2设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D（1）求点D的坐标；（2）当ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2, log2 )（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影由SABC= log21, 得0 a0时，图象
7、过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0，y0，函数f(x)满足f（xy）f（x）f（y）”的是C（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质 7. （2010上海文数）9.函数的反函数的图像与轴的交点坐标是 (0,-2) 。解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数的反函数为，另x=0，有y=-2法二：函数图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数的反函数的图像与轴的交点为（0，-2）【考点精题精练】一、选择题1、（湖北黄冈中学2010届高三10月月考）已知函数，则的单调增区间为（D）A B C D7答案：D解析
8、：令且，即得的单调增区间为2、设（ C ）A0 B1 C2 D3解：C，。3、（2010届山东烟台开发区高三月考）11已知函数在区间2，4上是增函数，则实数的取值范围是（B） A B C D4、（2010届山东省实验高三一诊（文）10函数在区间上的值域为，则的最小值为( B )A B. C. D. 5、（2010届湖南省箴言中学高三一模（文）3. 已知，则有 ( A )A B C D 6、（2009年山东运河中学10月月考）12已知函数f（x），则f（1x）的图象是（ D ）A B C D7、幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如下图所示，则 （ C ）Amnp BmpnCnpm Dpnm
9、8、 当x(1，+)时，幂函数y=x的图象恒在y=x的下方，则的取值范围是（ B ）A01 B1C0 D09、则 （ A ）10、函数的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是（B） 解析：要使函数的定义域是全体实数，可转化为对一切实数都成立，即且解得故选（）11、设集合等于（ A ）ABCD12函数的反函数为（ B ）ABCD 二、填空题1、函数的定义域是_，单调减区间是_2、_-4_。3、函数的单调递减区间为 .4、_，如果f(x)是反比例函数，则m=_-1_，如果f(x)是幂函数，则m=_2_三、解答题1、若，试求实数m的取值范围解析：作出幂函数的图象如图由图象知此函数在上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑时，于是有，即又幂函数在上单调递增， 解得，或m4上述解法意识到幂函数在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展2、在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a1、a2，其中a1，求ABC面积的最大值 解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a1，log2(a1)，(a2，log2(a2)，则ABC的面积S=因为,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
