1、第二章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2013北京高考)设a,b,cR,且ab,则()A.acbcB.C.a2b2D.a3b3解析:A选项中若c小于等于0则不成立,B选项中若a为正数b为负数则不成立,C选项中若a,b均为负数则不成立,故选D.答案:D2.(2013广东高考)设l为直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为,.A1A平面B1BCC
2、1,A1A平面DCC1D1,而平面B1BCC1平面DCC1D1=C1C;对于C,设l为A1A,平面ABCD为,平面DCC1D1为,A1A平面ABCD,A1A平面DCC1D1,而平面ABCD平面DCC1D1=DC;对于D,设平面A1ABB1为,平面ABCD为,直线D1C1为l,平面A1ABB1平面ABCD,D1C1平面A1ABB1,而D1C1平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.答案:B3.(2012江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3
3、的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件,得|x|+|y|=n(nN+)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案:B4.(2014山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:“至少有一个”的否定为“没有”.答案:
4、A5.(2011江西高考)观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,则72011的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49解析:(法一)由题意得,72011=75024+3=(74)50273,由于74=2401末位为1,倒数第二位为0,因此2401502的末两位定为01.又73=343,(74)50273的末两位定为43.(法二)用归纳法:72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,由上知末两位有周期性且T=4.又72011=75024+3,72011的末两位与73的末两位一样为43.答案:B6.(2012江西高考
5、)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C7.(2013福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-2解析:
6、2x+2y=12,2x+y,即2x+y2-2.x+y-2.答案:D8.(2013辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若OBA为直角,则=0,即a2+(a3-b)a3=0,又a0,故b=a3+;若OAB为直角时,=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若AOB为直角,则不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故选C.答案:C9.(2012福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,ab0;f(0)f(1)0;f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是()A.B
7、.C.D.解析:设g(x)=x3-6x2+9x=0,则x1=0,x2=x3=3,其图象如下图:要使f(x)=x3-6x2+9x-abc有3个零点,需将g(x)的图象向下平移,如图所示:又f(x)=3x2-12x+9=0时,x1=1,x2=3,即得f(1)是极大值,f(3)是极小值.故由图象可知f(0)f(1)0.答案:C10.(2012浙江高考)设a0,b0,e是自然对数的底数,()A.若ea+2a=eb+3b,则abB.若ea+2a=eb+3b,则abD.若ea-2a=eb-3b,则ab.故选A.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(2014北京高考)顾客请一位工
8、艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日.解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.答案:4212.(2014福建高考)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只
9、有一个正确,则100a+10b+c等于.解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当成立时,则a2,b2,c=0,此种情况不成立;(2)当成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当成立时,则a=2,b2,c0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=1002+100+1=201.故答案为201.答案:20113.(2014课标全国高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过
10、一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.答案:A14.(2014陕西高考)已知f(x)=,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2014(x)的表达式为.解析:依题意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x)=f,f3(x)=f(f2(x)=f,由此可猜测fn(x)=,故f2014(x)=.答案:15.(2012湖南高考)对于nN*,将n表示为n=ak2k+ak-12k-1+a121+a020,当i=k时,ai=1,当0ik-1时,ai为0
11、或1.定义bn如下:在n的上述表示中,当a0,a1,a2,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.(1)b2+b4+b6+b8=;(2)记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是.解析:(1)由题意知2=12,b2=1;4=122,b4=1;6=122+12,b6=0;8=123,b8=1,所以b2+b4+b6+b8=3.(2)若n为偶数,且bn=0,则n=ak2k+ak-12k-1+a121+a020中a0=0,且ak,ak-1,a1中有偶数个1,n+1=ak2k+ak-12k-1+a121+120,bn+1=1n+2=am 2m+am-12
12、m-1+a1 21+020,若bn+2=0,此时cm=1;若bn+2=1,则n+3=am 2m+am-12m-1+a1 21+120,则bn+3=0,此时cm=2.若n为奇数,n=ak2k+120,且bn=0,则n+1=am 2m+a1 21+020,若bn+1=0,此时cm=0.若bn+1=1,则n+2=am 2m+a1 21+120,bn+2=0.此时,cm=1.综上所述,cm的最大值为2.(注:也可列举连续的几项,作出猜测)答案:(1)3(2)2三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(6分)(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin2
13、13+cos217-sin13cos17;sin215+cos215-sin15cos15;sin218+cos212-sin18cos12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解法一:(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下:sin2+cos
14、2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos 30cos+sin 30sin )2-sin(cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=-sin(cos 30cos +sin 30sin)=cos2+(cos 60cos 2+sin 60sin2)-sincos-sin2=cos2+cos2+sin2-sin2-(1-cos2)=
15、1-cos2-cos2=.17.(6分)(2013北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD平面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明:(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,而且四边形ABED为平行四边形,所
16、以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.18.(6分)(2013湖北高考)已知Sn是等比数列an的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.解:(1)设数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an=3(-2)n-1.(2)由(1)有Sn=1-(-2)n
17、.若存在n,使得Sn2013,则1-(-2)n2013,即(-2)n-2012.当n为偶数时,(-2)n0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n-2012,即2n2012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN,k5.19.(7分)(2014天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n
18、.证明:若anbn,则st.分析:(1)先由已知写出M,及描述法的集合A,再对xi值的情况讨论,写出A的列举法表示.(2)证明st,可用作差法,即判断s-t0.作差后利用放缩法,将差式转化为等比数列求和判断差的符号.(1)解:当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)证明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=-qn-1=-10.所以,st.
