1、数列命题点1等差数列、等比数列的基本运算 等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Snan2bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为anpqn1(p，q0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算高考题型全通关1(2020枣庄模拟)已知等差数列an的公差为4，且a2，a3，a6成等比数列，则a10等于()A26 B30C34D38C由题意可得aa2a6，即(a2d)2a2(a24d)，结合题意，有(a24)2a2(a21
2、6)，解得a22，则a10a28d28434.2教材改编等差数列an中，Sn是它的前n项和，若a2a310，S654，则该数列的公差d为()A2 B3 C4 D6C由题意知S6a1a2a3a4a5a654，即a1a6a2a5a3a418，2da2a5(a2a3)8，所以d4.3(2020惠州第一次调研)等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S69S3，S562，则a1()A B2 C D3B由题意可得即得选B4(2020江西红色七校第一次联考)在正项数列an中，a12，且点P(ln an，ln an1)(nN*)位于直线xyln 20上若数列an的前n项和Sn满足Sn200，则n的最小值为
3、()A2 B5 C6 D7D将(ln an，ln an1)(nN*)代入xyln 20，可得an12an，所以an是公比为2的等比数列，Sn2n12，令Sn200，则2n1202，所以n的最小值为7.5(2020唐山模拟)已知等差数列an的公差不为零，其前n项和为Sn，若S3，S9，S27成等比数列，则()A3 B6 C9 D12C法一：设等差数列an的公差为d，因为S3，S9，S27成等比数列，所以SS3S27，即，(a14d)2(a1d)(a113d)，d22a1d，因为d0，所以d2a1，则9，故选C法二：设等差数列an的公差为d，因为S3，S9，S27成等比数列，所以SS3S27，即，
4、(a1a18d)2(a1a12d)(a1a126d)，d22a1d，因为d0，所以d2a1，则9，故选C6多选已知数列an是各项均为正数的等比数列，bn是公差不为0的等差数列，且a2b2，a8b8，则()Aa5b5Ba5b5Ca4b4Da6b6BC设an的公比为q(q0)，bn的公差为d(d0)a5，b5，由基本不等式得，当且仅当a2a8时等号成立易知数列bn不是常数列，故B正确，A错误因为a2q6a8b8b26da26d，所以d，所以a4b4a2q2a22da2(3q2q62)(q2q62q22)(1q2)2(q22)0，a6b6a2q4a24d(3q412q6)(1q2)2(2q21)0.
5、故C正确，D错误故选BC7(2020惠州第一次调研)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和已知S1，S2，S4成等比数列，且a35，则数列an的通项公式为_2n1法一：设an的公差为d，d0.因为S1，S2，S4成等比数列，所以SS1S4，即(2a1d)2a1(4a16d)，即d22a1d，因为d0，所以d2a1，又a3a12d5a15，所以a11，d2，数列an的通项公式为an2n1.法二：设等差数列an的公差为d(d0)，则由S1，S2，S4成等比数列，得SS1S4，即(2a33d)2(a32d)(4a32d)，又a35，所以(103d)2(52d)(202d)，解得d2，所以数列
6、an的通项公式为ana3(n3)d2n1.命题点2等差数列、等比数列的性质1通项性质：若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则对于等差数列，有amanapaq2ak，对于等比数列有amanapaqa.2前n项和的性质：对于等差数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列；对于等比数列有Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列(q1且m为偶数情况除外)高考题型全通关1(2020石家庄模拟)已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为()A2 B2C2DA由等差数列的性质知13a1a24，由等比数列的性质知b144，b22，由于等比数列中奇数项符号相同，
7、偶数项符号相同，b22，2，故选A2(2020西安模拟)等比数列an中，若an0，a2a41，a1a2a37，则公比q()A B C2 D4B法一：由题意得q0，a10，因为所以得故选B法二：由等比数列的性质得aa2a41，结合an0，得a31.由a1a2a37，得a37，则6，结合q0，得q，故选B3教材改编已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a13a14a15a16的值是()A8 B15 C18 D20A法一：根据等比数列的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S16S12仍成等比数列，即1，31，S123，S16S12成等比数列，所以S1234，S16S128，所以a13
8、a14a15a168.故选A法二：设等比数列an的公比为q，因为S41，S83，所以a1a2a3a41，a5a6a7a82，则q42，又由q12238，得a13a14a15a168.故选A4等差数列an和bn的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有，则等于()A B C DD.5多选(2020济南模拟)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若存在正整数n0，对任意正整数m，Sn0Sn0m0恒成立，则下列结论一定成立的是()Aa1d0B|Sn|有最小值Can0an010Dan01an020ABD由Sn0Sn0m0知d0，否则Sn0与Sn0m同号当d0时，易知必须a10(否则Sn0
9、与Sn0m同号或Sn0Sn0m0)；当d0时，易知必须a10(否则Sn0与Sn0m同号或Sn0Sn0m0)，故A正确对于选项B，因为d0，所以等差数列an的前n项和Sn满足Snkn2bn(k0)，又ykx2bx(k0)的图象是抛物线，所以|Sn|必有最小值，故B正确对于选项C，D，例如：数列1，2，5，选项C不成立故选ABD6已知函数f (x)(xR)，若等比数列an满足a1a2 0191，则f (a1)f (a2)f (a3)f (a2 019)_.2 019a1a2 0191，f (a1)f (a2 019)2，an为等比数列，则a1a2 019a2a2 018a1 009a1 011a1
10、，f (a2)f (a2 018)2，f (a1 009)f (a1 011)2，f (a1 010)1，即f (a1)f (a2)f (a3)f (a2 019)21 00912 019.命题点3等差、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的2个失分点(1)公式anSnSn1适用于所有数列，但易忽略n2这个前提；(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q1或q1的情况，公式Sn只适用于q1的情况高考题型全通关1(2020长春质量监测一)已知数列an为等比数列，Sn为等差数列bn的前n项和，且a21，a1016，a6b6，则S11()A44 B44C88D88A法一：设等比数列an的公比为q，则a
11、10a2q8，即q816，所以q44，所以a6a2q44，所以b64，所以S1111b644，故选A法二：因为aa2a1016，又等比数列中偶数项的符号相同，所以b6a64，所以S1111b644，故选A2已知等差数列an的前n项和为Tn，a34，T627，数列bn满足bn1b1b2b3bn，b1b21，设cnanbn，则数列cn的前11项和S11等于()A1 062 B2 124 C1 101 D1 100C设数列an的公差为d，则解得数列an的通项公式为ann1.当n2时，bn1bnbn，bn12bn，即数列bn从第二项起为等比数列，bn2n2(n2)，数列bn的通项公式为bn分组求和可得
12、数列cn的前11项和S11(23412)(1122229)772101 101.3已知公差不为0的等差数列an的首项a13，且a2，a4，a7成等比数列，数列bn的前n项和Sn满足Sn2n(nN*)，数列cn满足cnanbn(nN*)，则数列cn的前3项和为()A31 B34 C62 D59B由于a2，a4，a7成等比数列，故aa2a7，即(a13d)2(a1d)(a16d)由于a13，解得d1，故ann2.当n2时，bnSnSn12n2n12n1，当n1时，b1S1212，故bn故cn的前3项和为a1b1a2b2a3b332425434.4多选已知数列an的所有项都是正数，且满足n23n(n
13、N*)，下列说法正确的是()A数列an的通项公式为an4(n1)2B数列是等差数列C数列的前n项和是n(n3)D数列是等比数列ABD当n1时，4，可得a116，当n2时，由n23n，可得(n1)23(n1)n2n2，两式相减得2(n1)，得an4(n1)2，又a116也适合上式，则数列an的通项公式为an4(n1)2(nN*)，所以A正确因为4(n1)，所以8124(n1)2n(n3)，所以C不正确结合等差数列、等比数列的定义，显然B，D都正确5一题两空(2020杭州模拟)已知各项均不相等的数列an满足2an13anan1(nN*，n1)，则数列an1an是公比为_的等比数列，若a2，a8，则
14、a1_.1法一：因为2an13anan1(nN*，n1)，所以2an12ananan1，则数列an1an(nN*)是公比为的等比数列，所以an1an(a2a1)，于是an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1a1a1(12a1)a1.因为a8，所以(12a1)a1，解得a11.法二：因为2an13anan1(nN*，n1)，所以2an12ananan1，则数列an1an(nN*)是公比为的等比数列令bnan1an，则数列bn是公比为的等比数列，所以a8a1b1b2b3b7b1.因为b1a2a1a1，a8.所以a1，解得a11.命题点4数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法
15、(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an1anf (n)型)、累乘法(适用于an1anf (n)型)、待定系数法(适用于an1panq型)求通项公式高考题型全通关1(2020惠州第二次调研)已知Sn为数列an的前n项和，Sn1an，则S5()A BCDDn1时，S11a1，得a1，n2时，由得2anan1，所以an是首项为，公比为的等比数列，所以S5，故选D2多选已知数列an满足a1a2an2n(nN*)，则下列结论中正确的是()Aan为等比数列Ba516C数列an的前n项和Sn2n
16、Dlog2an1为等差数列BCD由a1a2an2n得Sn2n，故C项正确当n1时，a12，当n2时，Sn12n1，可得an2n1，所以an所以数列an不是等比数列，故A项错误易知a52416，故B项正确因为log2an1log22nn，所以易知log2an1为等差数列，故D项正确3多选已知数列an的前n项和为Sn，且有(a1a2an)an(a1a2an1)an1(n2，nN*)，a1a21.数列的前n项和为Tn，则以下结论正确的是()Aan1BSn2n1CTnDTn为递增数列BD由(a1a2an)an(a1a2an1)an1，得Sn(SnSn1)Sn1(Sn1Sn)，化简得SSn1Sn1，根据
17、等比数列的性质得数列Sn是等比数列易知S11，S22，故Sn的公比为2，则Sn2n1，Sn12n，Sn22n1，.由裂项相消法得Tn1.故B正确，C错误，D正确根据Sn2n1知A选项错误，故答案为BD4(2020石家庄模拟)已知等比数列an满足：a14，Snpan1m(p0)，则p取最小值时，数列an的通项公式为an_.43n1Snpan1m，Sn1panm(n2)，anSnSn1pan1pan(n2)，pan1(p1)an(n2)，(n2)，又n1时，a1S1pa2m4，a2，.an为等比数列，p0，p，m4p，pp21，当且仅当p，即p时取等号，此时等比数列的公比3，an43n1.5一题两
18、空(2020长春质量监测一)已知数列an的前n项和为Sn，满足a1，且anan1(nN*)，则S2n_，an_.(1)n(1)因为anan1，所以S2na1a2a3a4a2n1a2n11.(2)因为anan1，所以an1an.又a11，所以a21，a31，a41，归纳可得，an(1)n.6一题两空(2020济南模拟)若数列an的前n项和为Sn，满足2Snn(an3)，且a25，则an_，若，成等差数列，则l_.2n12由2Snn(an3)，得当n2时，2Sn1(n1)(an13)，根据anSnSn1，得2ann(an3)(n1)(an13)，得(n2)an(n1)an13.当n3时，即3，所以3，3，3，3，累加得，3.又a25，所以an2n1(n3)，当n1时，2a1a13，得a13，易知a13，a25也适合上式，所以an2n1(nN*)，于是，又，成等差数列，所以，l2.
