1、第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在ABC中,已知a=4,b=52,5cos(B+C)+3=0,则B的大小为()A.6B.4C.3D.56解析由5cos(B+C)+3=0,得cos A=35,sin A=45.由正弦定理,得sin B=bsinAa=52454=12,B=6.答案A2在ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.2C.2D.4解析由余弦定理,得bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a
2、=2.答案C3在ABC中,已知a+b+10c=2(sin A+sin B+10sin C),A=60,则a等于()A.3B.23C.4D.不确定解析由正弦定理,易得ABC的外接圆的半径为1,asinA=2R=2.a=2sin A=3.答案A4在ABC中,已知sin Bsin C=cos2A2,则ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析sin Bsin C=1+cosA2,2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C)=1-cos Bcos C+sin Bsin C,cos Bcos C+sin Bsin C=1,即cos(B-C)=1.A
3、,B,C为三角形的三个内角,B=C.ABC为等腰三角形.答案B5在ABC中,已知A=60,AC=16,面积S=2203,则BC的长为()A.206B.75C.51D.49解析因为S=12ACABsin A=1216ABsin 60=43AB=2203,所以AB=55.再用余弦定理求得BC=49.答案D6在ABC中,若B=120,则a2+ac+c2-b2的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不确定解析由余弦定理及B=120,得cos B=a2+c2-b22ac=-12,即a2+c2-b2=-ac.故a2+ac+c2-b2=0.答案C7在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
4、(a2+c2-b2)tan B=3ac,则B的值为()A.3B.23C.6D.3或23解析由(a2+c2-b2)tan B=3ac,得a2+c2-b22ac=3cosB2sinB,即cos B=32cosBsinB,sin B=32.又B(0,),B=3或B=23.答案D8已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是()A.(8,10)B.(22,10)C.(22,10)D.(10,8)解析设边长为a的边所对角为A,边长为3的边所对角为B.则由题意知,根据余弦定理,得cosA=12+32-a22130,cosB=12+a2-3221a0,即a28,a20,解得8a20,故22a0)的最大
5、值为2.(1)求函数f(x)在0,上的单调递减区间;(2)ABC中,fA-4+fB-4=46sin Asin B,A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60,c=3,求ABC的面积.解(1)由题意,知f(x)的最大值为m2+2,所以m2+2=2.而m0,于是m=2,f(x)=2sinx+4.由正弦函数的单调性及周期性可得x满足2k+2x+42k+32(kZ),即2k+4x2k+54(kZ).所以f(x)在0,上的单调递减区间为4,.(2)设ABC的外接圆半径为R,由题意,得2R=csinC=3sin60=23.化简fA-4+fB-4=46sin Asin B,得sin A+sin B=26
6、sin Asin B.由正弦定理,得2R(a+b)=26ab,a+b=2ab.由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0.将式代入,得2(ab)2-3ab-9=0,解得ab=3或ab=-32(舍去),故SABC=12absin C=334.20(本小题满分10分)如图所示,一船在海上由西向东航行,测得某岛M在A处的北偏东角,前进4 km后,测得该岛在B处的北偏东角,已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁,现该船继续东行.(1)若=2=60,问该船有无触礁危险?如果没有,请说明理由;如果有,那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险?(2)当与满足什么条件时,该船没有触礁危险?解(1)如图,作MCAB,垂足为C,=60,=30,ABM=120,AMB=30,BM=AB=4 km,MBC=60,MC=BMsin 60=23 km3.5,4coscossin(-)72,即coscossin(-)78时,该船没有触礁危险.
