1、专题限时集训(六)直线与圆、抛物线椭圆双曲线 1多选(2020新高考全国卷)已知曲线C：mx2ny21()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线ACD对于选项A，mn0，00，方程mx2ny21可变形为x2y2，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，mn0，方程mx2ny21变形为ny21y，该方程表示两条直线，正确综上选ACD2(2020全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A BCDB因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)，所以(2
2、a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2xy30的距离为或，故选B3(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3 C6 D9C法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p.又点A到焦点的距离为12，所以12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6.故选C法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以1293，解得p6.故选C4(2016全国卷)以抛
3、物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8C设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.5(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A2xy10B2xy10C2xy10D2xy10D法一：由M：x2y22x2y20，得M：(
4、x1)2(y1)24，所以圆心M(1，1)如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|AB|，欲使|PM|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需PAM的面积最小因为|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需直线2xy20上的动点P到M的距离最小，其最小值为，此时PMl，易求出直线PM的方程为x2y10.由得所以P(1，0)易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2，即x2y2y10，由得，直线AB的方程为2xy10，故选D法二：因为M：(x1)2(y1)24，所以圆心M(1，1)连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|AB|，欲使|P
5、M|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需PAM的面积最小因为|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需|PM|最小，此时PMl.因为PMAB，所以lAB，所以kAB2，排除A，C易求出直线PM的方程为x2y10，由得所以P(1，0)因为点M到直线x1的距离为2，所以直线x1过点P且与M相切，所以A(1，1)因为点A(1，1)在直线AB上，故排除B故选D6(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6 C7 D8D法一：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或
6、不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D法二：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故选D7(2020全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A B3 C D2B法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可
7、知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|216.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|PF2|2，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，又|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|6，则S|PF1|PF2|63，故选B法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以S3(其中F1PF2)，故选B8(2020全国卷)若直线l与曲线y和圆x
8、2y2都相切，则l的方程为()Ay2x1By2xCyx1DyxD易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，则，设直线l与曲线y的切点坐标为(x0，)(x00)，则y|xx0x0k，kx0b，由可得b，将b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直线l的方程为yx.9(2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A B C D2A法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2
9、b2a22a2，所以离心率e.法二：如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)10(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4B因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得
10、所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B11(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A B C2 DA如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为y2，将x2y2a2记为式，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A12(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦
11、距的最小值为()A4 B8 C16 D32B由题意知双曲线C的渐近线方程为yx.因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16，当且仅当ab2时，等号成立，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值为8，故选B13(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A B C DA如图所示，由题意得A(a，0)，B(a，0)，F
12、(c，0)由PFx轴得P.设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故选A14(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A B C DD由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e，故选D15(2
13、019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A B C2 D3A不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.16(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1B由题意设椭圆的方程为1(ab0)，连接F1A(图略)，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则
14、点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12，得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B17(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.2法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，则y1y2，y1y24.由AMB90，得
15、(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x2，x1x21与y1y2，y1y24代入，得k2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4(x1x2)，则k.取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y01，所以y1y22，所以k2.18(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点
16、若，0，则C的离心率为_2法一：因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.法二：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B又F1OABOF2，所以OBF2为等
17、边三角形由F2(c，0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.19(2019全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_(3，)不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)一题多解：依题意得|F1F2|F1M|8，|F2M|4，cosMF1F2，则tanMF1F2.所以直线MF1的方程为y0(x4)设M(6cos ，2sin )，因为M点在直线MF1上，所以2sin (6cos 4
18、)，结合sin2cos21且sin 0，cos 0得cos ，sin ，即M点的坐标为(3，)1(2020武汉部分学校质量检测)已知双曲线E：1的离心率为，则双曲线E的焦距为()A4 B5C8D10D因为a4，离心率e，所以c5，所以双曲线的焦距2c10，选D2(2020中山模拟)如图，椭圆1(ab0)的上顶点、左顶点、左焦点分别为B，A，F，中心为O，其离心率为，则SABFSBFO()A11B12C(2)2 D2A由题意可知，SABF(ac)b，SBFOcb，则1211.故选A3(2020惠州第一次调研)设双曲线的一条渐近线为直线y2x，且一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，则此双曲线的方程
19、为()Ax25y21B5y2x21C5x2y21 Dy25x21C抛物线y24x的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为点(1，0)，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由题意可得，得，所以所求方程为5x2y21，选C4(2020长沙模拟)过坐标原点O作圆(x3)2(y4)21的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得的弦长为()A B C DB设圆心为P，由切线长定理可知|OA|OB|，且OAPA，OBPB，|OP|5，半径r1，所以|OA|OB|2.因为ABOP，所以S四边形OAPB|OP|AB|2SOAP，所以|AB|.选B5(2020太原模拟)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为
20、圆心，|F1F2|为半径的圆与椭圆E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A1 B C D1A不妨设椭圆E的焦点在x轴上，如图所示PF1F2为直角三角形，PF1F290，|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c，则|PF1|PF2|2c2c2a，解得e1.故选A6(2020平顶山模拟)若倾斜角为60的直线l与圆C：x2y26y30交于M，N两点，且CMN30，则直线l的方程为()Axy30或xy30Bxy20或xy20Cxy0或xy0Dxy10或xy10A依题意，圆C：x2(y3)26.设直线l：xym0，由CMN30，且圆的半径r，得圆心C到直线l的距离d，解得m3.
21、故直线l的方程为xy30或xy30.故选A7(2020郑州模拟)已知点A(5，0)，B(1，3)，若圆C：x2y2r2(r0)上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为5，则r的取值范围是()A(1，)B(1，5)C(2，5)D(2，)B由题意可得|AB|5，根据MAB和NAB的面积均为5，可得两点M，N到直线AB的距离为2.由于直线AB的方程为3x4y150，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB的距离r2，解得r1；若圆上只有三个点到直线AB的距离为2，则有圆心(0，0)到直线AB的距离r2，解得r5.所以实数r的取值范围是(1，5)故选B8(2020厦门模
22、拟)如图，已知圆O：x2y2r2(r0)与直线xy20相交于A，B两点，C为圆上的一点，OC的中点D在线段AB上，且35，则圆O的半径r为()A B C D2C如图，过O作OEAB于E，连接OA，OB，则OE，由垂径定理得|AE|EB|.设|DE|x，则由35可知|AE|4x，由勾股定理得(4x)22r2，x22，解得r.故选C9(2020洛阳尖子生第一次联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，若sinF1PF2，则该双曲线的离心率等于()A B2 C或2 D1或CP为双曲线上一点，且|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义|PF
23、1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c.sinF1PF2，cosF1PF2.当cosF1PF2时，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c216a2，e2；当cosF1PF2时，得4c224a2，e.综上可知e2或e，故选C10(2020合肥调研)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，斜率为k的直线过焦点F交C于点A，B，2，则直线AB的斜率为()A2 B2 C2 D2C法一：由题意知k0，F，则直线AB的方程为yk，代入抛物线方程消去x，得y2yp20.不妨
24、设A(x1，y1)(x10，y10)，B(x2，y2)，因为2，所以y12y2.又y1y2p2，所以y2p，x2，所以kAB2.根据对称性可得直线AB的斜率为2，故选C法二：如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，设直线AB交准线于M，由抛物线的定义知|AF|AD|，|BF|BE|，结合2，知|BE|AD|AB|，则BE为AMD的中位线，所以|AB|BM|，所以|BE|BM|，所以|ME|2|BE|，所以tanMBE2，即此时直线AB的斜率为2.根据对称性可得直线AB的斜率为2.11(2020临沂模拟)已知双曲线C：1(b0)，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l交
25、双曲线C的左、右支分别于A，B两点，且|AF1|BF1|，则|AB|()A4 B8 C16 D32C如图，由双曲线可得a4，设|AF1|BF1|m，由双曲线的定义可得|AF2|AF1|2a2am，|BF2|BF1|2am2a，可得|AB|AF2|BF2|2am(m2a)4a16.故选C12(2020贵阳模拟)已知点F1是抛物线C：x22py(p0)的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，设其中一个切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A1B21C1 DC由题意知F1，F2，设直线F2A的方程为ykx，代入抛物线C：x22py，
26、整理得x22pkxp20，4k2p24p20，解得k1，不妨取A，则|AF1|p，|AF2|p.设双曲线的方程为1(a0，b0)，则2a|AF2|AF1|(1)p，2cp，双曲线的离心率e1.13(2020德州模拟)过抛物线y24x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ABCD面积的最小值为()A8 B16 C32 D64C焦点F的坐标为(1，0)，所以可设直线AB的方程为yk(x1)，代入y24x并整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，|AB|x1x224.同理可得|CD|44k2.所以四边形ACBD的面积S|AB|CD|4(k21)8832，当且仅当k1时取等号故选C1
27、4多选(2020淄博模拟)已知一族双曲线En：x2y2(nN*，且n2 019)，设直线x2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记AnBnCn的面积为an，则下列说法正确的是()A双曲线的渐近线方程为yxBanC数列an为等差数列Da1a2a2 019ACD因为双曲线的方程为x2y2(nN*，且n2 019)，所以其渐近线方程为yx，设点An(2，yn)，则4y(nN*，且n2 019)记An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则SAnBnCnd1d2，故an，因此an为等差数列，故a1a2a3a2 0192 019.故选ACD15多选
28、(2020聊城模拟)已知O为坐标原点，过点P(a，1)作两条直线与抛物线C：x24y分别相切于点A，B，AB的中点为M，则下列结论中正确的是()A直线AB过定点(0，2)B直线PM的斜率不存在Cy轴上存在一点N，使得直线NA与NB始终关于y轴对称DA，B两点到抛物线准线的距离的倒数之和为定值BCD设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为yx2，所以yx，所以以A为切点的切线方程为yy1x1(xx1)，即yxx1xx，得yx1xx.同理可得以B为切点的切线方程为yx2xx，将(a，1)分别代入，可得1x1y1，1x2y2，所以直线AB的方程为xy10，所以直线AB过定点(0，1)，故A错误由可
29、得x22ax40，4a2160，则x1x22a，x1x24，所以点M的横坐标为a，所以PMx轴，故B正确设N(0，b)，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2.由题意得x10，x20，所以k1k2.当b1时，有k1k20，则直线NA与直线NB关于y轴对称，故C正确因为点A到准线的距离为y11，点B到准线的距离为y21，所以1，故D正确16多选(2020菏泽模拟)已知双曲线1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线上一点，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F12，则下列结论正确的是()A点P在双曲线的右支上B点在双曲线的渐近线上C双曲线的离心率为D双曲线上任一点到两渐
30、近线距离之和的最小值等于4ABC连接PF1(图略)，由题意知|F1F2|2|OP|2c，则PF1PF2，因为tanPF2F12，所以2，因此|PF1|PF2|，故点P在双曲线的右支上，A项正确；由于|PF1|PF2|2a，所以|PF1|4a，|PF2|2a，所以(4a)2(2a)2(2c)2，整理得c25a2，则e，C正确；又e，所以2，所以双曲线的渐近线方程为y2x，易知点在双曲线的渐近线上，故B项正确；由于b25，所以a2，所以双曲线的方程为1，设M(x0，y0)为双曲线上任意一点，则点M到渐近线y2x的距离d1，点M到渐近线y2x的距离d2，因此d1d2，又1，于是d1d21，因此由基本
31、不等式得d1d222，当且仅当d1d2时取等号，故双曲线上任一点到两渐近线距离之和的最小值等于2.故D项错误故选ABC17多选(2020青岛模拟)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴相交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则下列结论正确的是()A1k1By1y28x1x2CAFB可能为直角D当k2时，AFB的面积为16CD依题意知F(2，0)，M(2，0)，直线l的方程为yk(x2)，联立得消去y得k2x2(4k28)x4k20.因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以解得1k1且k0，故A选项错误
32、；因为x1x24，所以yy8x18x2644256，由于y1，y2同号，所以y1y216，于是y1y24x1x2，故B选项错误；由于(x12，y1)，(x22，y2)，所以x1x22(x1x2)4y1y24241632，当k2时，0，AFB为直角，故C选项正确；AFB的面积SSMFASMFB|MF|y1y2|2，当k2时，y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)16k，因此S216，故选项D正确18(2020安徽示范高中名校联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为_1由题
33、意可知PF1PF2，且|PF2|c，所以|PF1|c，根据椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a，即(1)c2a，所以e1.19一题两空(2020临沂模拟)已知双曲线C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线的夹角为60，则渐近线方程为_，过点F1作x轴的垂线，交双曲线的左支于M，N两点，若MNF2的面积为4，则该双曲线的方程为_yx1因为双曲线C的两条渐近线的夹角为60，ab0，所以，则渐近线方程为yx.易知F1(c，0)，所以直线MN的方程为xc，代入双曲线的方程得y，所以MNF2的面积S|F1F2|MN|2c4.又a2b2c2，所以由得a3，b，c2，故该双曲线的方程为1.2
34、0一题两空(2020滨州模拟)已知M(a，4)是抛物线C：x22py(p0)上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则a_；若过点P(3，4)向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|BF|_.449由抛物线的定义得46，解得p4，所以抛物线C的方程为x28y，将(a，4)代入，可得a4.易知点P不在抛物线上，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)又yx，所以抛物线C在点A处的切线方程为yy1(xx1)，将(3，4)代入并结合x8y1，得3x14y1160，同理得抛物线C在点B处的切线方程为3x24y2160，于是直线AB的方程为3x4y160.将3x4
35、y160代入x28y，整理得2y229y320，所以y1y2，y1y216，故|AF|BF|(y12)(y22)y1y22(y1y2)449.21(2020石家庄模拟)已知点E在y轴上，点F是抛物线y22px(p0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|12，则p_.8如图，由题意知F.M为EF的中点，点M的横坐标为.设直线EF的方程为yk，k0.由，得k2x2(k2p2p)x0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2p.当xp时，y22p2，N(p，p)|NF|2(p)2，1442p2，p264，p0，p8.22(2020济南模拟)已知点A(0
36、，1)，抛物线C：y2ax(a0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|MN|12，则实数a的值为_法一：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|MK|.因为|FM|MN|12，所以|KN|KM|1，又kFN，kFN，所以，解得a.法二：因为A(0，1)，抛物线C：y2ax(a0)的焦点为F，准线方程为x，所以AF的方程为4xaya0，所以N.因为|FM|MN|12，所以|FM|FN|，所以xM，yM.因为(xM，yM)在抛物线上，所以，得a.1设双曲线C：1(ab0)的两条渐近线的夹角为
37、，且cos ，则C的离心率为()A BCD2Bab0，渐近线yx的斜率小于1，两条渐近线的夹角为，且cos ，cos2，sin2，tan2，e2，e.故选B2若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2(y2)22截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()A B2 C D2B设圆心到双曲线的渐近线的距离为d，由弦长公式可得，22，解得d1，又双曲线C的渐近线方程为bxay0，圆心坐标为(0，2)，故1，即1，所以双曲线C的离心率e2.故选B3多选已知双曲线C过点(3，)且渐近线为yx，则下列结论正确的是()AC的方程为y21BC的离心率为C曲线yex21经过C的一个焦点D直线xy10与C有两
38、个公共点AC因为渐近线方程为yx，所以可设双曲线方程为，代入点(3，)，得，所以双曲线方程为y21，选项A正确；该双曲线的离心率为，选项B不正确；双曲线的焦点为(2，0)，曲线yex21经过双曲线的焦点(2，0)，选项C正确；把xy1代入双曲线方程，得y22y20，解得y，故直线xy10与曲线C只有一个公共点，选项D不正确4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于点M.若F1MF245，则双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2xA如图，作OAF1M于点A，F2BF1M于点B因为F1M与圆x2y2a2相切，F1MF245，所
39、以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又点M在双曲线上所以|F1M|F2M|2a2b2a2a，整理得ba.所以.所以双曲线的渐近线方程为yx.故选A5如果圆C1：(xm)2(ym)28上总存在到点(0，0)的距离为的点，则实数m的取值范围是()A3，3B(3，3)C(3，11，3)D3，11，3D由题意知，圆C1：(xm)2(ym)28与圆C2：x2y22存在公共点，所以22，解得3m1或1m3.故选D6已知F2为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx交双曲线C于A，B两点若AF2B，SAF2B2，则双曲线C的虚轴长为()A1 B2 C2 D2C设双曲线C
40、的左焦点为F1，连接AF1，BF1(图略)，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以S2，F1AF2.设|AF1|r1，|AF2|r2，则4c2rr2r1r2cos.又|r1r2|2a，故r1r24b2.又Sr1r2sin2，所以b22，则该双曲线的虚轴长为2.故选C7已知抛物线y24x的焦点F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且点P不在直线AF上，则当PAF周长取最小值时，线段PF的长为()A1 B C5 DB如图，求PAF周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值设点P在准线上的投影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，可
41、得当D，P，A三点共线时，|PA|PD|最小，此时P，F(1，0)，线段PF的长为1.故选B8已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆C于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围为()A BC DA如图所示，设F为椭圆C的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，4|AF|BF|AF|AF|2a，a2.不妨取M(0，b)，点M到直线l的距离不小于，解得b1，e，即椭圆C的离心率的取值范围是.故选A9双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作一条直线与双曲线E的两条渐近线分别相
42、交于A，B两点若2，|F1F2|2|OB|，则双曲线的离心率为()A B C2 D3C如图所示，连接F2B|F1F2|2|OB|，且O为F1F2的中点，所以F1BF290.因为2，即|2|，所以A为线段F1B的中点又由于O为F1F2的中点，所以OAF2B，所以OAF1B，所以AOF1AOB又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则AOF1BOF2，所以BOF260，则tanBOF2，所以双曲线的离心率e2.故选C10已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A
43、8 B9 C10 D11B由题意可得2a6，即a3，渐近线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线方程为y21，焦点为F1(，0)，F2，(，0)由双曲线的定义可得|MF2|2a|MF1|6|MF1|.由圆E：x2(y)21可得圆心E(0，)，半径r1，|MN|MF2|6|MN|MF1|.如图，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|MF1|取得最小值，且|EF1|4，则|MN|MF2|的最小值为6419.故选B11已知抛物线x2y的焦点为F，M，N是抛物线上两点，若|MF|NF|，则线段MN的中点P到x轴的距离为()A B C DC抛物线x2y的焦点为，准线为y.如图，过点M，N，P分别
44、作准线的垂线，则|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|，所以中位线|PP|，所以中点P到x轴的距离为|PP|.故选C12我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A B C D2A设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，椭圆的长半轴长为a1，椭圆的半焦距为c，双曲线的实半轴长为a2，|PF1|x，|PF2|y，xy.由椭圆、双曲线的定义得，.在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2cos 60，a3a4c2.又e1e
45、21，c2a1a2，a3a4a1a2，即(a1a2)(a13a2)0，a13a2，3ac2，e2.故选A13.已知F是抛物线C：y2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2，则|FN|()A B C D1A法一：因为抛物线C：y2x2，所以F，抛物线C的准线方程为y.如图，过点M作抛物线准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MAOF，所以.因为2，所以|MA|，|MF|MB|，|FN|3|FM|，故选A法二：因为抛物线y2x2，所以F.设N(x0，0)，则由2，可得M，代入抛物线方程，得2，解得x，则|FN|，故选A14如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，
46、b0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点若|AB|BF1|AF1|345，则双曲线的渐近线方程为()Ay2xBy2xCyxDyxA由题意可设|AB|3k，则|BF1|4k，|AF1|5k，则易得BF1BF2，由双曲线的定义可知|AF1|AF2|2a，则可得|AF2|5k2a，|BF2|8k2a，再根据双曲线的定义得|BF2|BF1|2a，得ka，即|BF1|4a，|BF2|6a，|F1F2|2c，在直角三角形BF1F2中，得16a236a24c24(a2b2)，则2，双曲线的渐近线方程为y2x，故选A15多选已知双曲线C：x21(b0)虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则下
47、列说法正确的是()Ab的值为BC的离心率为2C抛物线y28x与C有一个相同的焦点DC的两条渐近线均与圆(x2)2(y)21相交ABC双曲线x21的一条渐近线的方程为bxy0，易知其虚轴的一个端点为(0，b)，由题意可得，得b，A正确；又a1，所以c2，故离心率e2，B正确；抛物线焦点为(2，0)，故C正确；双曲线的渐近线方程为yx，圆的圆心为(2，)，半径为1，根据点到直线的距离可判断，渐近线yx与圆相交，yx与圆相离，故D错误，选ABC16多选抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于D点，若2，|FA|2，则()AF(3，0)B直线AB
48、的方程为yC点B到准线的距离为6DAOB(O为坐标原点)的面积为3BCD如图，不妨令点B在第一象限，设点K为准线与x轴的交点，分别过点A，B作抛物线C：y22px(p0)的准线的垂线，垂足分别为G，E，2，点F为BD的中点，又|BE|FB|，|BE|BD|，在RtEBD中，BDE30，|AD|2|AG|2|AF|224，|DF|AD|FA|6，|BF|6，则点B到准线的距离为6，故C正确；|DF|6，|KF|3，p3，则F，故A错误；由BDE30，易得BFx60，所以直线AB的方程为ytan 60，故B正确；连接OA，OB，SAOBSOBFSAOF6sin 1202sin 603，故D正确故选
49、BCD17多选已知抛物线y24x的准线过双曲线C：1(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则()AC的方程为1BC的两条渐近线的夹角为60C点F到C的渐近线的距离为DC的离心率为2ABD由题意易知，抛物线y24x的准线方程为x1，所以双曲线C：1(a0，b0)的左焦点F的坐标为(1，0)，c1，从而b21a2.把x1，b21a2代入1，整理得y，所以|AB|，SAOB|AB|c1，得a，所以双曲线C的方程为1，故A正确；C的渐近线方程为yx，所以两条渐近线的夹角为60，故B正确；F(1，0)到yx的距离d，故C错误；C的离心率e2，故D正确18多选
50、已知抛物线x2y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A点F的坐标为B若直线MN过点F，则x1x2C若，则|MN|的最小值为D若|MF|NF|，则线段MN的中点P到x轴的距离为BCD易知点F的坐标为，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2p2，选项B正确；若，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2y的焦点为，准线方程为y，过点M，N，P分别作准线的垂线MM，NN，PP，垂足分别为M，N，P(图略)，则|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|，所以|PP|，所以线段
51、MN的中点P到x轴的距离为|PP|，选项D正确19多选已知过双曲线C：1的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A，B，过原点与弦AB的中点D的直线交直线x于点E，若AEF为等腰直角三角形，则直线l的方程为()Ax(32)y20Bx(32)y20Cx(32)y20Dx(32)y20AC易知F(2，0)，则由题意可设直线l：xmy2(m)，代入双曲线C的方程，消去x，整理得(m22)y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2，2，即D，直线OD的方程为yx.令x，得ym，即E，直线EF的斜率为m，EFl，则必有|EF|AF|，即，解得y1.又1，x1，m(32
52、)，从而直线l的方程为x(32)y20或x(32)y20.20已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若AF2B60，ABF2的面积为a2，则双曲线的渐近线方程为_yx法一：如图，连接AF1，BF1，则四边形AF2BF1是平行四边形，设|AF2|x，则|BF1|x，|BF2|x2a，Sx(x2a)a2，解得x(1)a或x(1)a(舍去)，则|BF2|(1)a.在BF1F2中，由余弦定理得4c2(1)2a2(1)2a22(1)(1)a2，化简得c24a2，又双曲线中c2a2b2，故b23a2，所以渐近线方程为yx.法二：如图，连接AF1，
53、BF1，则四边形AF2BF1是平行四边形，因为AF2B60，所以F1AF2120，所以SSSa2，得3，所以渐近线方程为yx.21一题两空已知抛物线y24x的焦点为F，过点(3，0)的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|BF|20，则直线l的斜率为_；_.15或由题意得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l：yk(x3)(k0)，代入y24x，得k2x2(6k24)x9k20，显然0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x29.由抛物线的定义得，|AF|x11，|BF|x21，则|AF|BF|(x11)(x21)x1x2x1x2196116，又|AF|BF|20，所以1620，k21，k1，于是x1x210，x1x29，则有或5.22(2020烟台模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，AFBF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则的最小值为_如图所示，设抛物线的准线为l，作AQl于点Q，BPl于点P.由抛物线的定义可设|AF|AQ|a，|BF|BP|b，因为AFBF，所以由勾股定理可知|AB|.又M是线段AB的中点，所以由梯形中位线的性质可得|MN|，则，当且仅当ab时等号成立即的最小值为.
