1、江苏省南京市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合Mm|3m2，mZ，NR，则MN_【答案】2，1，0，1【解析】【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可【详解】M2，1，0，1，NR，MN2，1，0，1故答案为：2，1，0，1【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2.复数z复平面上对应点位于第_象限【答案】一【解析】【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算
2、，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【详解】复数，复数对应的点的坐标是（，）复数在复平面内对应的点位于第一象限，故答案为：一【点睛】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，考查了复数的四则运算，属于简单题3.某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4则这20名学生成绩的方差为_【答案】51【解析】【分析】由方差定义可得n个数与其平均数，方差间关系xxxnS2+n2，利用此关系可结合条件把20 个数据中的前10个数，后10个数分别找出其平方和，及平均数，进而求出20名学生成绩的方差【详解】设x1，x2xn的方差S2（
3、x1）2+（x2）2+（xn）2xxx2（x1+x2+xn）+n2x12+xxn2xxxnS2+n2，则xxx1036+1090281360，xxx1016+1080264160，85S2xxx20281360+641602085251，故答案：51【点评】本题依托平均数，方差，标准差的定义关系，考查学生的数据处理能力和计算能力，属于中低档题4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为_【答案】8【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【详解】第1次循环：k0，S1；第2次循环：S1212，k2；第3次循环：S2228，k3；此时不满足循环条件k3，输出S8故答案为：8【点睛】本题主要考查了程
4、序框图的识别和判断问题，根据条件模拟运算是解题的关键，考查了计算能力，属于简单题5.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是_【答案】【解析】总数为 为整数有共8个,所以概率是 6.函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是 【答案】（2，+）【解析】试题分析：首先对f（x）=（x3）ex求导，可得f（x）=（x2）ex，令f（x）0，解可得答案解：f（x）=（x3）ex+（x3）（ex）=（x2）ex，令f（x）0，解得x2故答案为（2，+）考点：利用导数研究函数的单调性7.已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为_【答案】
5、【解析】【分析】利用双曲线的离心率为，求出a，c，再求出双曲线的准线方程【详解】双曲线的离心率为，（m3）（m+5）0，5m3，m，a，c2，双曲线的准线方程为故答案为：【点睛】本题考查双曲线的准线方程，考查离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为 【答案】【解析】【分析】先设底面正方形的中心为，根据题意得到，再由求出，结合勾股定理即可得出结果.【详解】设底面正方形的中心为，又底面边长为2可得由【点睛】本题主要考查棱锥的结构特征，熟记棱锥的结构特征及体积公式即可，属于基础题型.9.已知函数若则函数的最小正周期为 【答案】【解析】【详解】试
6、题分析：，所以，由此可得：，又因为，所以令得，所以函数的最小正周期考点：三角函数的性质10.已知等差数列an满足：a18，a26若将a1，a4，a5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为_【答案】-1【解析】【分析】【分析】由题意可得公差da2a12，从而ana1+（n1）d2n10，设所加的这个数为x，根据 （a1+x）（a5+x），解出x的值【详解】已知等差数列an中，a18，a26，公差da2a12，ana1+（n1）d2n10将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，设所加的这个数为x，则有 （a1+x）（a5+x），即 （2+x）2（8+x）（0
7、+x），解得 x1故答案为：1【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，求得 an2n10，是解题的关键，属于中档题11.设函数和的图象在轴左、右两侧靠近轴的交点分别为、，已知为原点，则 【答案】【解析】试题分析：由得，即，所以，即，则，所以；考点：1三角函数的恒等变换；2平面向量的数量积；12.设f（x）asin2x+bcos2x（a，bR），若f（x）的最大值为，则a+b的取值范围为_【答案】，【解析】【分析】由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a2+b25，再利用基本不等式求得 （a+b）210，从而求得a+b的取值范围【详解】f（x）asin2x+bcos2x
8、sin（2x+）（a，bR），若f（x）的最大值为，a2+b25，（a+b）2a2+b2+2ab2（ a2+b2 ）10，a+b，故a+b的取值范围为，故答案为：，【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题13.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，且cos2B+cosB+cos（AC）1，则a+2c的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理以及基本不等式求解即可【详解】解：由cos2B+cosB+cos（AC）112sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC112sin2Bcos
9、AcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1sinAsinCsin2B，由正弦定理得到acb2，而，当且仅当 等号成立由b2，可得故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力14.已知正实数x，y满足x3y10，则xy的取值范围为_【答案】【解析】102，即253xy143(xy)211xy801xy.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（1）当时，求b的值；（2）当时，且，求的
10、值【答案】（1）b1（2）2【解析】【分析】（1）由题意得，即，由正弦定理有：，联立即可得解b的值（2）由平行条件得asinAsinB，由，则可得，联立即可得解【详解】（1）由题意得：，即得，在三角形中由正弦定理有：，由以上两式可知：b1（2）由平行条件得， 则可得到：，【点睛】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的坐标运算，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算计算能力和转化思想，属于中档题16.如图，四棱锥ABCDE中，AB、BC、BE两两垂直且ABBCBE，DEBC，DE2BC，F是AE的中点（1）求证：BF面ACD；（2）求证：面ADE面ACD【答案】（1）见解析（2）见解析【解
11、析】【分析】（1）取AD的中点M，连接CM、MF，推导出四边形BCMF为平行四边形，从而CMBF，由此能证明BF面ACD（2）作DE中点N，连接CN，推导出CMAD，BFAE，CMAE，由此能证明面ADE面ACD【详解】证明：（1）取AD的中点M，连接CM、MFF、M分别为AE、AD中点，DE2MF，DE=2MF又DE2BC，DE=2BCFMBC，FM=BC，四边形BCMF为平行四边形，CMBF，又BF面ACD，CM面ACD，BF面ACD（2）作DE中点N，连接CN，DE2BC，DE=2BC，N为DE中点N，DNBC，又AB、BC、BE两两垂直，且ABBCBE，ACCD，M为AD中点，CMAD
12、，又F是AE的中点，且ABBE，BFAE，CMBF，CMAE，又ADAEA，AE、AD面ADE，CM面ADE，CM面ACD，面ADE面ACD【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查了空间思维能力和推理能力，属于中档题17.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即）现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保
13、护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？【答案】（1）；（2）设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）【解析】【分析】（1）过点O作于点E，则，设，则，则有，然后利用三角函数的知识求出分母的最大值即可（2）以O为原点建立平面直角坐标系，设直线AB的方程为，可得和，解得或（舍），可得，又当时，从而可得.【详解】（1）过点O作于点E，则，设，则，所以，所以；因为；所以当时，AB取得最小值为；（2）以O为原点建立平面直
14、角坐标系，如图所示；则圆C的方程为，设直线AB的方程为；，解得或（舍），又当时，所以；综上知，当时，即设计出入口A离市中心O的距离在到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）【点睛】1.本题考查的是三角函数的实际应用，要善于利用三角函数的有界性求最值2.由实际问题建立直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.18.已知点M是圆C：（x+1）2+y28上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足2，0，动点N的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求AOB面积S的最大值【答案】（1）（
15、2）【解析】【分析】（1）由已知得NP为DM的垂直平分线，|ND|NM|，由此能求了轨迹E的方程（2）法一：设直线AB的方程为ykx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出AOB面积S的最大值（2）法二：设直线AB的方程为ykx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出AOB面积S的最大值【详解】（1）解：因为，所以NP为DM的垂直平分线，所以|ND|NM|，又因为，所以所以动点N的轨迹是以点C（1，0），D（1，0）为焦点的长
16、轴为的椭圆所以轨迹E的方程为 （2）解法一：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为ykx+m，由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220 设A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以，因为|AB|2，所以，即所以，即，因为1+k21，所以 又点O到直线AB的距离，因为h，所以S2h22m2（1m2）所以，即S的最大值为 （2）解法二：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x垂直，故可设直线AB的方程为ykx+m，由，
17、消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220设A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以，因为|AB|2，所以因为，所以，所以，又点O到直线AB的距离，所以h所以S2h2设，则， 所以，即S的最大值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了三角形面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用，要求较高的计算能力，本题属于难题19.设首项为a1的正项数列an的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+mSm+qmSn总成立（1）求证：数列an是等比数列；（2）若不等的正整数m，
18、k，h成等差数列，试比较ammahh与ak2k的大小；（3）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较与的大小【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）令nm1，得a2qa1，令m1，得Sn+1S1+qSn（1），从而Sn+2S1+qSn+1两式相减即可得出an+2qan+1，进而可判断出数列an是等比数列（2）根据m，k，h成等差数列，可知m+h2k，进而可判定，进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断（3）正整数m，k，h成等比数列，则mhk2，判断出，进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断【详解】（1）证：因
19、为对任意正整数n，m，Sn+mSm+qmSn总成立，令nm1，得S2S1+qS1，则a2qa1令m1，得Sn+1S1+qSn（1），从而Sn+2S1+qSn+1（2），（2）（1）得an+2qan+1，（n1）综上得an+1qan（n1），所以数列an是等比数列（2）正整数m，k，h成等差数列，则m+h2k，所以，则当q1时，ammahha12kak2k当q1时，当0q1时，（3）正整数m，k，h成等比数列，则mhk2，则，所以，当a1q，即时，当a1q，即时，当a1q，即时，【点睛】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质，考查了等比数列与不等式综合，考查了分类讨论思想和计算能力，属于难
20、题20.已知函数（是自然对数的底数）.（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）或；（2）（3）相等，一个.【解析】【分析】（1）求出在的切线，与联立，根据切线与抛物线只有一个交点，则；（2）分，根据导数讨论；（3）转化为函数的零点通过导数求解.【详解】（1），所以在处的切线为即： 与联立，消去得，由知，或（2）当时，在上单调递增，且当时，故不恒成立，所以不合题意 ； 当时，对恒成立，所以符合题意；当时令，得， 当时
21、，当时，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，综上： (3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解， 令得：，因为， 所以.令，则，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个.【点睛】本题考查导数的综合应用. 复杂方程的根问题：1、转化为函数的交点求解；2、转化为函数的零点求解.选做题（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）选修4-2：矩阵与变换21.设矩阵A，求矩阵A的逆矩阵的特
22、征值及对应的特征向量【答案】11，对应一个特征向量为，2，对应的一个特征向量为【解析】【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A1A*，求得A1，由特征多项式f（）0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量【详解】丨A丨143，A*，A的逆矩阵为A1A*，则特征多项式为f（）（）22，令f（）0，解得：11，2，设特征向量为，则，可知特征值11，对应的一个特征向量为，同理可得特征值2，对应一个特征向量为【点睛】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】将曲线和直
23、线的极坐标方程转化成直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.【详解】以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为，且圆心C为.直线的直角坐标方程为，因为圆心C关于的对称点为，所以圆心C关于的对称曲线为.所以曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.选修4-5：不等式选讲 23.若关于x的不等式x2ax+b0的解集为（1，2），求函数f（x）（a1）（b1）的最大值【答案】【解析】分析】由题意可得1，2是方程x2ax+b0的两根，运用韦达
24、定理可得a3，b2，即有f（x）2，运用柯西不等式即可得到所求最大值【详解】关于x的不等式x2ax+b0的解集为（1，2），可得1，2是方程x2ax+b0的两根，即有1+2a，12b，解得a3，b2，则函数f（x）（a1）（b1）2，由x30，4x0可得3x4，由柯西不等式可得，（2）2（4+1）（x3+4x），即有2当2，即为x3，4时，f（x）取得最大值【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用柯西不等式，考查二次方程和二次不等式的转化思想，考查运算能力，属于中档题必做题（第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）24.某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考
25、生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力【答案】（1）见解析，2（2）此甲的实验操作能力较强【解析】【分析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X，则 ，k1，2，3，由此求得考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列（2）设考生乙正确完成实验操作的题数为Y，则，求得P（Y2）的值、P（X2）
26、的值，再根据P（X2）P（Y2），得出结论【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X，则 ，k1，2，3所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：X123P EX1232（2）设考生乙正确完成实验操作的题数为Y，则，所以，k0，1，2，3，；又，且P（X2）P（Y2），从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此甲的实验操作能力较强【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法和步骤，属于中档题25.已知（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由【答案】（1），（2）见解析【解析】【详解】（）令，则，令，则，；（）要比较与的大小，即比较：与的大小， 当时，；当时，；当时，；猜想：当时，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，两边同乘以3 得：而即时结论也成立，当时，成立.综上得，当时，；当时，；当时， 考点：数学归纳法
