1、吉林省松原市普通高中2020届高三数学4月统一模拟考试试题 文（含解析）一选择题1.若全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得集合，由此求得.【详解】由解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查集合补集概念和运算，考查对数不等式的解法，属于基础题.2.若是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数除法法则可知，分子分母同时乘，整理后即可选出正确答案.【详解】解：.故选:B.【点睛】本题考查了复数的除法.易错点是误把 当成1进行计算.3.已知向量，若，则实数（ ）A. B. C. 6D. -6【答案】C【解析】【分析】由向量平行
2、的坐标表示计算【详解】因为，所以，解得故选：C【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题4.若，且，则（ ）A. B. C. 7D. 【答案】D【解析】【分析】由同角三角函数关系，求得，再由两角和的正切公式展开求解即可.【详解】若，且，则，所以，故.故选：D【点睛】本题考查三角函数中给值求值问题，属于基础题.5.若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的众数是（ ）A. 93B. 83C. 82.5D. 72【答案】A【解析】【分析】看哪个数出现的次数多【详解】从茎叶图看93出现次数最多，因此众数是93故选：A【点睛】本题考查茎叶图，考查众数概念，正确认识茎叶图是解题基础6.以椭
3、圆的长轴端点作为短轴端点，且过点的椭圆的焦距是（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】D【解析】分析】设所求椭圆的方程为，将点代入，求出，由即可求解.【详解】设所求椭圆的方程为，将点代入，解得，则，即，故选：D.【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于基础题.7.已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 若将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，则得函数的图象D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质判断【详解】，因此函数的图象关于点对称，A正确；，所以函数的图象关于直线对称，B
4、正确；将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得图象的函数解析式为，C正确；时，在上不单调，因此函数在区间上不单调，D错故选：D【点睛】本题考查正弦型三角函数的对称性，单调性，及图象变换，掌握正弦函数性质是解题关键8.已知等差数列的前项和为，若，则公差（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】列出公差和首项的方程组，解之可得【详解】由题意，解得，故选：C【点睛】本题考查等差数列的基本量法，掌握基本量法是解等差数列问题的基础9.执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当时，；当时，；当时，；时，输出S，此时，所以选
5、B.考点：循环结构10.已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由三角形内角和与两角和与差的正弦公式求得，再由同角三角函数关系求得，进而由余弦定理求得a，最后由三角形面积公式求得答案.【详解】因为，即，即，则，所以，故.因为，所以，所以角为锐角，故，由余弦定理可知，解得或.当时，的面积；当时，的面积.故选：C【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，并利用任意三角形面积公式求面积，属于简单题.11.已知点是双曲线上一点，分别为双曲线的左右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）A. 15B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析
6、】【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理结合双曲线的定义求得.【详解】依题意，.在三角形中， ，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.12.若对任意成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对分成两种情况，结合导数进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【详解】由于，故D选项错误.当时，取，则，所以在区间上不恒成立.构造函数，所以在上递减，在上递增，在区间上的极小值也即是最小值为.当时：取，则成立，当时，由得.
7、由于在上递减，所以，则.当时，得.由于在上递减，在上递增，所以，则.综上所述，的取值范围是.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.二填空题13.已知幂函数的图像过点，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】将点的坐标直接代入幂函数解析式中，可求出的值【详解】解：因为幂函数的图像过点，所以，即，解得，故答案为：【点睛】此题考查幂函数的定义及解析式，属于基础题.14.若实数，满足不等式组，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】作出可行域，将目标函数看作是可行域内一个点与两点间距离的平方，结合图像可求出最优解，进而可求出所求的最小值.【
8、详解】解：如图，作出表示的可行域，设，可看作是可行域内一个点与两点间距离的平方，记与轴交点为，因为与连线的斜率为，所以与垂直，进而可知，可行域内到的距离最短，故的最小值为，故答案为:2.【点睛】本题考查了线性规划求最值. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内根据目标函数的特点找到最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为_.【答案】【解析】【分
9、析】由正六边形的面积公式求得总的面积，再由几何概型概率的计算公式构建方程，求得满足条件的部分的面积，即阴影的面积.【详解】边长为2的正六边形的面积.据题设分析即几何概型的概率可知阴影区域面积.故答案为：【点睛】本题考查由几何概型的概率求图形的面积，属于基础题.16.已知在三棱锥中，两两互相垂直且长度相等，的面积是，过棱作三棱锥的外接球的截面，则截面面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，由已知条件结合面积公式可求出；通过分析可求出当为截面圆的直径时，截面面积取最小值，继而可求出截面圆的半径，即可求出截面面积.【详解】解：设，则，所以为等边三角形，所以，解得或(舍去)，由题意知，当为截面圆
10、的直径时，截面面积取最小值，此时截面圆半径为，所以截面面积为，故答案为:.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题.本题的关键是求出的长.本题的难点是分析出何时截面面积最小.三解答题17.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件计算出，由此求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项的和.【详解】（1）依题意，所以.（2），设其前项和为，则，两式相减得.所以.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查错位相减求和法，属于中档题.18.加班，系指除法定或者国家规定的工作时间外，即正常
11、工作日延长工作时间或者双休日以及国家法定假期期间延长工作时间.有的工作人员在正常工作日不能积极主动工作，致使有的工作任务要到正常工作日延长工作时间完成，这不能称为“加班”，只有建立合理的考核方案，才能调动广大工作人员的积极性.某劳动组织对“工作时间”的评价标准如下表：每天的工作时间(单位：小时)评价级别良好普通加班严重加班超重加班2019年5月1日，该劳动组织从某单位某个月中随机抽取10天“工作时间”的统计数据绘制出的频率分布直方图如下：（1）若严重加班的天数是普通加班天数的2倍，求，的值；（2）在（1）条件下，若从这10天中评价级别是“良好”或“普通加班”的天数里随机抽取2天，求“这2天的工
12、作时间属于同一评价级别”的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和，以及严重加班的天数是普通加班天数的倍，列方程组，解方程组求得的值.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.详解】（1）依题意.（2）由（1）可知这10天中评价级别是“良好”有天，设为；评价级别是“普通加班”有天，设为.从中抽取天，所有可能为共种，其中这天的“工作时间”属于同一评价级别的为共种，所以“这2天的工作时间属于同一评价级别”的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查古典概型概率计算，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，过点作平面的垂线，垂足为与
13、的交点，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若四棱锥的体积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，证得平面.（2）利用四棱锥的体积求得，由，解得是的中点，求得三棱锥的体积.【详解】（1）设是的中点，连接.由于，所以，由于是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）依题意可知四边形是直角梯形，所以.依题意可知平面，所以，所以.由于是的中点，所以到底面的距离是的一半，即三棱锥的高为.由于，所以，所以，所以，所以.所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查几何体体
14、积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，.（1）求抛物线的方程；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】【分析】（1）根据，则可得，可得结果.（2）巧设直线方程，然后与抛物线方程联立可得关于的一元二次方程，结合韦达定理，以及，可得参数，则可得直线方程.【详解】（1）因为，所以，所以所求抛物线的方程为；（2）点的坐标为，设直线的方程为.，解得或.设，则所以，则，所以则，又，所以，得，满足.所以直线的方程为或.即所求直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与抛物线的应用，对抛物线给出焦点要想到准线，
15、同时直线与圆锥曲线的结合往往联立方程并结合韦达定理，考验分析能力以及计算能力，属中档题.21.已知函数.（1）求的最值；（2）若时，恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，最小值为，没有最大值.当时，最大值为，没有最小值；（2）.【解析】【分析】（1）利用的导函数，结合对进行分类讨论，由此求得的最值.（2）利用分离常数法，结合导数，求得的取值范围.【详解】（1）依题意，所以当时，在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，没有最大值.当时，在上递增，在上递减，所以在处取得最大值，没有最小值.（2）依题意，当时，恒有，即，即，即.构造函数，所以在上递增，在上递减，所以，所以.所以实数的取值范围是
16、.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）当曲线与曲线有两个公共点时，求实数的取值范围.【答案】(1) ,;(2) 【解析】【分析】(1)消去参数即可得的普通方程；通过对两边同乘，结合公式即可求出的直角坐标方程.(2)令圆心到直线的距离小于半径，即可求出实数的取值范围.【详解】解：(1)由可知，所
17、以，即的普通方程为，由可得，所以，即，所以的直角坐标方程为.(2)由题意知表示以为圆心，为半径的圆，圆心到直线的距离；因为曲线与曲线有两个公共点，所以，即，解得.【点睛】本题考查了参数方程转化为普通方程，考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围.23.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）当时，采用零点分段法求得不等式的解集.（2）利用绝对值三角不等式化简不等式的最值，由此解绝对值不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，当时，不等式无解.当时，解得，所以.当时，不等式成立.综上所述，不等式的解集为.（2）由于，而对任意成立，所以，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
