1、南京市2021届高三年级第三次模拟考试 数 学 202105注意事项： 1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I卷（选择题 共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|2x4，Bx|x22x30，则ABA1，2)B(2，3C(1，3D(，32已知i为虚数单位，若复数zi，则复数的虚部为ABCiDi3函数yln|x|cosx的大致图象是xyO xyO
2、 xyO xyOA B C D4将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是A72B96C108D1205已知cos()，则sin(2)cos2()的值为ABCD16声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强通常人耳能听到声音的最小声强为I01012(瓦/米2)对于一个声音的声强I，用声强I与I0比值的常用对数的10倍表示声强I的声强级，单位是“分贝”，即声强I的声强级是10lg(分贝)声音传播时，在某处听到的声强I与该处到声源的距离s的平方成反比，即I (k为常数)若在距离声源15米的地方，听到声音的声强
3、级是20分贝，则能听到该声音(即声强不小于I0)的位置到声源的最大距离为A100米B150米C200米D15米7在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点若（，0），则的最小值为A2B5CD8已知a，b，c均为不等于1的正实数，且lnaclnb，lncblna，则a，b，c的大小关系是AcabBbcaCabcDacb二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9面对新冠肺炎疫情的冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效下表显示的是2020年4月份到1
4、2月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是中国社会消费品零售总额月份零售总额（亿元）同比增长环比增长累计（亿元）4281787.506.531067585319732.8013.471387306335261.804.861722567322031.103.952044598335710.504.252380299352953.305.1427332410385764.309.3031190111395145.002.4335141512405664.602.66391981A2020年4月份到12月
5、份，社会消费品零售总额逐月上升B2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大C2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大D第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小10定义曲线：1为椭圆C：1(ab0)的伴随曲线，则A曲线有对称轴B曲线没有对称中心C曲线有且仅有4条渐近线D曲线与椭圆C有公共点11已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则A棱台的侧面积为6B棱台的体积为14C棱台的侧棱与底面所成的角的余弦值为D棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12已知函数f(x)3sin2x4cos2x，g(x)f(x)|f(x)|若存在x0R，对任意x
6、R，f(x)f(x0)，则A任意xR，f (xx0)f (xx0)B任意xR，f (x)f(x0)C存在0，使得g(x)在(x0，x0)上有且仅有2个零点D存在，使得g(x)在(x0，x0)上单调递减第II卷（非选择题 共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(3x2)5的展开式中的常数项为14写出一个离心率为，渐近线方程为y2x的双曲线方程为15早在15世纪，达芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD ()，然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OEAD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OFOE，
7、将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为，其外接球的表面积为ABCDOEFxx2x2y图1图216已知直线ykxb与曲线yx2cosx相切，则b的最大值为四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB2BC2CD4（1）若ADC，AC3，求cosCAD；（2）若AECE，BE2，求ABC的面积18(本小题满分12分)已知等差数列an满足：a13，a3，a4成等差数列，且a1，a3，a8成等比数列（1）求数
8、列an的通项公式；（2）在任意相邻两项ak与ak1(k1，2，)之间插入2k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn记Sn为数列bn的前n项和，求满足Sn500的n的最大值19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC90， AD2BC2AB4，PAD为等边三角形，E为PD的中点，直线AB与CE所成角的大小为45PEDACB（第19题图）（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值20(本小题满分12分)某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个
9、球，该同学接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图（1）若同一组数据用该区间的中点值作代表，求该同学40局接球训练成绩的样本平均数；若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(，100)，其中近似为样本平均数，求P(54X64)的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y)参考数据：若随机变量N(，2)，则P()0.6827，O5060708090100分数0.0050.01
10、00.0200.045（第20题图）P(22)0.9545，P(33)0.997321(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x，经过P(t，0)(t0)的直线l与C交于A，B两点（1）若t4，求AP长度的最小值；（2）设以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，问是否存在t，使得4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由22(本题满分12分)已知函数f(x)alnx，aR（1）若ae，求函数f(x)的单调区间；（2）若ae，求证：函数f(x)有且仅有1个零点南京市2021届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在
11、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1D2A3C4B5D6B7C8A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9BCD10AC11ACD12BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分1327014x21(答案不唯一) 1580，(408) 16 四、解答题：本大题共6小题，共70分17(本题满分10分)解：(1)在ACD中，由正弦定理，得，所以sinCAD2分因为0CAD，因此cosCAD4分(2)方法1设AECEx，AEB在ABE中，8x24xcos16在BCE中，
12、8x24xcos()4，即8x24xcos46分相加，解得x，即AECE8分将x代入，解得cos因为0，所以sin，所以ABC的面积SABC2SABE2AEBEsin2(2)10分方法2因为AECE，所以()，两边平方得42222|cosABC，即32164242cosABC，得cosABC，又0ABC，所以sinABC8分所以ABC的面积SABCABBCsinABC4210分18(本题满分12分)解：(1)设数列an的公差为d，因为a13，a3，a4成等差数列，所以2a3a13a4，即2(a12d)a13a13d，解得d3， 2分因为a1，a3，a8成等比数列，所以a32a1a8，即(a16
13、)2a1(a121)，解得a14， 4分所以an43(n1)3n15分 (2)因为bn0，所以Sn是单调递增数列6分因为ak1前的所有项的项数为k21222kk2k12，所以S(a1a2ak)2(21222k)22k248分当k6时，S132321500；当k7时，S26159950010分令S132a72(n133)500，即321222(n133)500，解得n211.5所以满足Sn500的n的最大值为21112分19.解：(1)取AD中点O，连接CO，OE在梯形ABCD中，因为ADBC，AD2BC，所以四边形ABCO为平行四边形，所以COAB，所以OCE即为异面直线AB与CE所成的角或补
14、角2分在等边PAD中，因为E为PD的中点，所以OEPAAD2在OCE中，OCAB2，即OEOC2，所以OCE为锐角，从而OCEOEC45，所以COE90，即OCOE 4分因为ABC90，所以四边形ABCO为矩形，所以OCAD又ADOEO，AD，OE平面PAD，所以OC平面PAD又因为OC平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD 6分(2)连接PO，在等边PAD中，因为O为AD中点，所以POADz由(1)得OC平面PAD，PO平面PAD，所以OCPOP以O为原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，E则A(0，2，0)，C(2，0，0)，D(0，2，
15、0)，B(2，2，0)， P(0，0，2)，yOAD故(0，2，2)，(2，0，0)，(0，2，2)，xBC(2，2，0) 设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，由不妨取z1，得m(0，1) 8分设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，由不妨取z1，得n(，1) 10分所以cosm，n所以平面PAB与平面PCD的所成角的正弦值为 12分20(本小题满分12分)解：(1)550.1650.2750.45850.2950.05742分由(1)得74，所以XN(74，100)，得P(54X94)0.9545，P(64X84)0.6827， 4分所以P(54X64)0.13596分(2)记“该同学每
16、局获胜”为事件A，则P(A)(0.020.005)10 7分Y的可能取值为3，4，5,P(Y3)()3()3， 8分P(Y4)C()2C()2， 9分P(Y5)C()2()2C()2()2 10分因此E(Y)345 12分21(本题满分12分)解：(1)设A(x1，y1)，则AP2(x14)2y12x128x1164x1x124x116，2分当x12时，(AP2)min12，故AP长度的最小值为2 4分(2)由l不与x轴重合，故可设直线l：xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y24my4t0，所以y1y24m，y1y24t 6分以AB为直径的圆方程为(xx1)(xx2)(yy1
17、)(yy2)0，令y0，得(xx1)(xx2)y1y20，即x2(x1x2)xx1x2y1y20设M(x3，y3)，N(x4，y4)则x3x4x1x2y1y2 8分于是x3x4x1x2y1y2y1y2t24t 10分令t24t4，解得t2，此时16(m22)0，所以存在t2，使得4 12分22(本题满分12分)(1)解：因为f (x)alnx，x0，所以f (x) 1分当a1时，令f (x)0，得x1；令f (x)0，得0x1 2分当1ae时，令f (x)0，得0xlna或x1；令f (x)0，得lnax1 3分因此，当a1时，f (x)的减区间为(1，)，增区间为(0，1)；当1ae时，f
18、(x)的减区间为(0，lna)和(1，)，增区间为(lna，1)4分(2) 证明：当ae时，令f (x)0，得0x1或xlna；令f (x)0，得1xlna 所以f (x)的减区间为(0，1)和(lna，)；增区间为(1，lna)， 6分所以当x(0，lna时，f (x)f (1)ae0，此时f (x)无零点 7分方法1下面证明：当x0时，ex设g(x)ex，x0，则g(x)exx2，g (x)ex2x，g (x)ex2当x(0，ln2)，g (x)0，所以g (x)单调递减；当x(ln2，)，g (x)0，所以g (x)单调递增；因此g (x)g (ln2)22ln20，故g(x)在(0，)
19、上单调递增因此g(x)g(0)10，故g(x)在(0，)上单调递增所以g(x)g(0)10，即不等式ex(x0)得证 9分由于x0时，由g (x)0，知ex2xx，故ln exlnx，即lnxx10分因此，当xlna1时，f (x)alnxaxx2axx2axa，令x2axa0，得xalna，取x0，则 f (x0)0又f (lna)f (1)0，且函数f (x)在lna，)上单调递减，f(x)的图象不间断，故当xlna，)时，f (x)有且仅有1个零点综上，当ae时，函数f (x)有且仅有1个零点 12分方法2先证明：ex(x0)令g(x)exex，x0，因为g(x)exe，所以g(x)在(
20、0，1)上递减，在(1，)上递增，所以g(x)ming(1)0，所以g(x)exex0，即exex，当且仅当x1时取等号将x换作，得ee，即证得exx39分再证明：当x0时，lnxx1令h(x)lnxx1，x0，h(x)1，所以当x(0，1)时，h(x)0，所以h(x)在(0，1)上递增，当x(1，)时，h(x)0，所以h(x)在(1，)上递减，所以h(x)maxh(1)0，故h(x)lnxx10，即证得当x0时，lnxx1，当且仅当x1时取等号10分当x1时，有f(x)alnx，令ax20，解得x，所以f()0又f (lna)f (1)0，且lnaa1a，f (x)在lna，)上单调递减，f(x)的图象不间断，所以f(x)在lna，)上有且仅有1个零点综上，当ae时，函数f (x)有且仅有1个零点12分
