1、吉林省桦甸市第四中学20112012年度高三数学训练题（立体几何1）1、如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,）(B)（1,） (C) (,） (D) （0,）3、正方体ABCD-中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A B C D4、已知三棱锥中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面
2、ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D） 5、过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条6、如图，正四面体的顶点，分别在两两垂直的三条射线，上，则在下列命题中，错误的为A是正三棱锥B直线平面C直线与所成的角是D二面角为7、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）（A） （B） （C） (D) 8、如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 （A）（B） （C）三棱锥的体积为定值 （D）9、（2010辽
3、宁理）已知三棱锥PABC中，PA面ABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.10、（2010湖南理）如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值； （II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F/平面A1BE？证明你的结论.11、（2010天津理）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。12、（2011北京理）如图，在四棱锥中，平面，底
4、面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.123456789101112DADDDBD10、解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系. （I）依题意，得B（1，0，0），E（），A（0，0，0），D（0，1，0），所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）依题意，得设是平面A1BE的一个法向量，则由，得所以取设F是棱C1D上的点，则F（t，1，1）又所以D而平面A1
5、BE，于是B1F/平面A1BE为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F/平面A1BE.解法2（I）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A2为正方形，所以EM/AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，于是，在中，即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 （II）在棱C1D上存在点F，使B1F/平面A1BE. 事实上，如图（b）所示，分
6、别取C1D1和CD的中点为F，G，连结EG，BG，CD1，FG.因A1D1/B1C1/BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此，D1C/A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG/D1C，从而EG/A1B，这说明A1，B，G，E，共面，所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG/C1C/B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F/BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F/平面A1BE.11、方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设
7、,依题意得,（1） 解：易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2） 证明：已知,于是=0，=0.因此，,又所以平面(3)解：设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而所以二面角的正弦值为方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C，由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所
8、以DE平面ACF，从而AFDE.连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED(3)解：连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为12、证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则.（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=
