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吉林省桦甸市第四中学2011-2012年度高三数学训练题(立体几何1).doc

1、吉林省桦甸市第四中学20112012年度高三数学训练题(立体几何1)1、如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中不正确的是AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角2、有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是(A)(0,)(B)(1,) (C) (,) (D) (0,)3、正方体ABCD-中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A B C D4、已知三棱锥中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面

2、ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D) 5、过正方体的顶点A作直线L,使L与棱,所成的角都相等,这样的直线L可以作A.1条 B.2条 C.3条 D.4条6、如图,正四面体的顶点,分别在两两垂直的三条射线,上,则在下列命题中,错误的为A是正三棱锥B直线平面C直线与所成的角是D二面角为7、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为()(A) (B) (C) (D) 8、如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是 (A)(B) (C)三棱锥的体积为定值 (D)9、(2010辽

3、宁理)已知三棱锥PABC中,PA面ABC,ABAC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.()证明:CMSN;()求SN与平面CMN所成角的大小.10、(2010湖南理)如图5所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点. (I)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值; (II)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F/平面A1BE?证明你的结论.11、(2010天津理)如图,在长方体中,、分别是棱,上的点,,(1) 求异面直线与所成角的余弦值;(2) 证明平面(3) 求二面角的正弦值。12、(2011北京理)如图,在四棱锥中,平面,底

4、面是菱形,.()求证:平面()若求与所成角的余弦值;()当平面与平面垂直时,求的长.123456789101112DADDDBD10、解法1 设正方体的棱长为1,如图所示,以为单位正交基底建立空间直角坐标系. (I)依题意,得B(1,0,0),E(),A(0,0,0),D(0,1,0),所以在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为AD平面ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一个法向量,设直线BE和平面ABB1A1所成的角为,则即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 (II)依题意,得设是平面A1BE的一个法向量,则由,得所以取设F是棱C1D上的点,则F(t,1,1)又所以D而平面A1

5、BE,于是B1F/平面A1BE为C1D1的中点,这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F/平面A1BE.解法2(I)如图(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A2为正方形,所以EM/AD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中,AD平面ABB1A1,所以EM平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,于是,在中,即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 (II)在棱C1D上存在点F,使B1F/平面A1BE. 事实上,如图(b)所示,分

6、别取C1D1和CD的中点为F,G,连结EG,BG,CD1,FG.因A1D1/B1C1/BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此,D1C/A1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG/D1C,从而EG/A1B,这说明A1,B,G,E,共面,所以BG平面A1BE. 因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG/C1C/B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF是平行四边形,所以B1F/BG,而B1F平面A1BE,BG平面A1BE,故B1F/平面A1BE.11、方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设

7、,依题意得,(1) 解:易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为(2) 证明:已知,于是=0,=0.因此,,又所以平面(3)解:设平面的法向量,则,即不妨令X=1,可得。由(2)可知,为平面的一个法向量。于是,从而所以二面角的正弦值为方法二:(1)解:设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1,设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C,由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为(2)证明:连接AC,设AC与DE交点N 因为,所以,从而,又由于,所以,故ACDE,又因为CC1DE且,所

8、以DE平面ACF,从而AFDE.连接BF,同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为,所以AF平面A1ED(3)解:连接A1N.FN,由(2)可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知,所以,又所以,在连接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值为12、证明:()因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.()设ACBD=O.因为BAD=60,PA=PB=2,所以BO=1,AO=CO=.如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,2),A(0,0),B(1,0,0),C(0,0).所以设PB与AC所成角为,则.()由()知设P(0,t)(t0),则设平面PBC的法向量,则所以令则所以同理,平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0,即解得所以PA=

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