1、等差数列的前n项和（第一课时）托克逊县第二中学周崇贵一、复习等差数列的有关概念 为常数dndaann2,1若m+n=p+q，则qpnmaaaa（其中m，n，p，q均为正整数）dmnaamnana1(n1)d高 斯 的 故 事高斯，(17771855）德国著名数学家。高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称
2、赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。1+2+3+100=？首项与末项的和：1100101，第2项与倒数第2项的和：299=101，第50项与倒数第50项的和：5051101，于是所求的和是：10150=5050。高斯的方法：对于数列an，一般地，我们称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn.数列前n 项和的意义a1a2a3an问题1:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？高斯方法改进与推广：10099321.1计算：nn)1(321.2计算：50502)1001(100100993212)1()1(321nnnn100 9998 2 1n(n-1)(n-2)2 1二、等
3、差数列的前n项和公式推导分组讨论：设等差数列 an 的首项为a1，第n项为an，如何求等差数列的前n项和Sn=?设等差数列an的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+an=a1+(a1+d)+a1+(n-1)d又Sn=an+(an-d)+an-(n-1)d2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)()(121nnaanS此种求和法称为倒序相加法公式的推导应用:怎样才能快速地计算出下图中一堆钢管有多少根？2)95(55S=35所以共35根.探讨：能否用a1,n,d表示Sn将an=a1+(n-1)d代入2)(:)1(1nnaanS公式dnnnaSn2)1(:)2(:1公
4、式得例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？三、公式应用变用公式 例 等差数列10，6，2，2，的前多少项的和为54？本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。120,54,999,.nnnaaasn在等差数列中，求变式练习例3.已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？解：依题意知，S10=310，S20=12201(1)2nn nSnad10a1+45d=31020a1+190d=1220得解得a1=4，d=62(1)4632nn nSnnn将它们代入公式三、例题 课堂小练;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda1.根据下列条件，求相应的等差数列的 nanS等差数列的前n项和公式：1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad四、小结注：1.回顾从特殊到一般的研究方法2.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”3.方程组思想的应用，“知三求一”，“知三求二”五、作业1.书面作业：P46 习题2.3 A组 1、2 2.课后思考题：B组 2
