1、吉林省桦甸四中、磐石一中、梅河口五中、蛟河实验中学等2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：高考全部内容.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. ，或C. ,或D. ,或【答案】C【解析】【分析】求解不等式，以及分式不等式，再根据集合并集即可求得结果.【详解】由，解得，或，
2、,或，由，解得，或，或，或.故选：C.【点睛】本题考查分式不等式的求解，以及集合的并运算，属综合基础题.2.复数满足，则的最大值等于（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】设复数，根据已知模长关系，求得的等量关系，以及的范围；再求目标复数的模长，将问题转化为求关于的函数的最大值，即可容易求得.【详解】设，由，可得，又，又在上是单调减函数，故.故的最大值等于3.故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的加减法运算，属基础题.3.已知向量满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，利用向量垂直，求得数量积，再结合
3、向量投影计算公式，即可求得结果.【详解】因为，故可得，故，则向量在方向上的投影为.故选：B.【点睛】本题考查向量垂直的转化，涉及数量积运算，属基础题.4.命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可容易求得.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，且，故：，.故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，属基础题.5.过点的直线与抛物线交于两点，则面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设出直线的方程，以及两点的坐标，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，再利用，将问题转化为求函数的最小值，即可容易求得.
4、【详解】设直线方程为，由，得，当且仅当时，即直线方程为时，取得最小值.面积的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的范围问题，处理问题的关键是将三角形面积转化为求函数的最值.属中档题.6.将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则实数的值为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用正余弦的降幂扩角公式，化简，结合图像平移后的解析式，以及正余弦函数的奇偶性，即可求得参数.【详解】因为故，故.故选：B.【点睛】本题考查正余弦的和角公式、降幂扩角公式，正余弦函数的奇偶性，三角函数图像平移后解析式的求解，属综合中档题.7.改编自中国神话故事的动画电影哪吒之魔
5、童降世自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话.小明和同学相约去电影院观看哪吒之魔童降世，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，等待时间不超过10分钟的时间段分别为7：508：00，8：208：30，共20分钟，7：40至8：30之间共50分钟，由几何概型即可求出概率.【详解】由题意可知，满足条件的时间段为7：508：00，8：208：3
6、0，共20分钟，7：40至8：30之间共计50分钟，由几何概型知所求概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型求概率问题，属于基础题.8.设的展开式中各项的二项式系数之和为，的展开式中各项的二项式系数之和为，若，则的展开式中各项系数之和为（ ）A. 16B. 32C. 81D. 243【答案】C【解析】【分析】由二项式系数之和求得，利用赋值法即可求得各项系数之和.【详解】由，得，解得，令，故可得的展开式中各项系数之和为.故选：C.【点睛】本题考查二项式系数之和，以及利用赋值法求系数之和，属基础题.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
7、析】【分析】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，然后求体积.【详解】由三视图知，该几何体为一个圆柱挖去半个球和一个圆锥，.故选：B【点睛】本题考查根据三视图求体积，属于中档题.10.已知实数，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数运算，结合对数函数的单调性，即可容易比较的大小.【详解】因为，且，同理，.故选：D.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性，比较对数式的大小，属基础题.11.如图所示，在三棱锥中，点在平面内的投影恰好落在上，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知平面，进而可得
8、平面，可构造直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，求解可得外接球半径，从而求得外接球的表面积.【详解】由已知可知平面，平面平面，又因为，平面，可构造直三棱柱，直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，且球心为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点.在中，由正弦定理可求得外接圆半径为，外接球半径为，三棱锥外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查几何体外接球及球的表面积求解，棱锥的外接球问题通常利用补形法找出对应棱柱外接球，总体思想是先求出球的半径，再根据球的表面积公式进行求解即可，属于中等题.12.若函数在上有两个零点，且，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
9、构造函数，求得零点的范围；再构造，将问题转化为求的最大值的问题，利用导数求解函数单调性，结合单调性即可求得函数的最大值.【详解】由，可得.设，则，设，设，则，为减函数，故，即，由，不妨设，则，为增函数，实数的最大值为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数由函数零点求参数范围，其中构造函数法是本题中的难点，属压轴题.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富
10、的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为_.【答案】0.384【解析】【分析】根据次独立重复试验的概率求解，即可容易求得结果.【详解】根据题意，容易知满足题意的概率.故答案为：.【点睛】本题考查次独立重复试验的概率求解，属基础题.14.已知数列、都是等差数列，其前项和分别为和，若对任意的都有，则_.【答案】【解析】【分析】根据等差数列前项和的性质
11、，设出，利用关系即可容易求得.【详解】根据等差数列前项和的性质，可设（，且），则.，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.15.是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则_.【答案】30【解析】【分析】待定系数求得，由函数平移求得的解析式，根据已知求得的关系，据此求得，分组求和即可容易求得结果.【详解】由，得，.因为点在函数上，即，.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，函数图像的平移，等差数列前项和的求解，属综合中档题.16.已知为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内
12、切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】设内切圆与的三边的切点分别为，根据圆的切线性质，可得，即可得答案.【详解】由双曲线，则 .设内切圆与的三边的切点分别为，根据圆的切线性质，可得，又因为，即，内切圆圆心在直线上.又因为圆的圆心为，半径，圆心到圆上任意一点的距离的最小值为.故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角所对的边分别是，.（1）若，求；（2）若边上的高之比为，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降幂扩角公式化简可得，利用，即可容易求得
13、；（2）由高之比求得等量关系，由余弦定理以及面积公式，将问题转化为求函数的最值即可.【详解】（1），解得，或（舍），.（2）设边上的高分别为、，则.，由余弦定理可得，则，则.由三角形两边之和大于第三边可得，解得，设，则，又，其对称轴为，且开口向下，故.当且仅当，即时，取得最大值.故三角形面积的最大值为.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，以及三角形面积的最大值，属综合中档题.18.如图，在平行四边形中，为中点.将沿折起使平面平面，得到如图所示的四棱锥. （1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得，即可由面面垂
14、直推证线面垂直，再由线面垂直推证面面垂直；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的方向向量，以及平面的法向量，即可容易求得线面角.【详解】（1）证明：在图中连接，因为，为中点，故可得为等边三角形，故可得；在中，由余弦定理可得，解得. 又，故可得.，在图中，平面平面，且平面平面，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故可得.设平面的一个法向量，由，令，可得，设直线与平面所成角的正弦值为，则.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及用向量法求解线面夹角，属综合中档题.19.足球比赛中
15、，一队在本方罚球区内犯规，会被判罚点球，点球是进攻方非常有效的得分手段.研究机构对某位足球队员的1000次点球训练进行了统计分析，以帮助球员提高点球的命中率.如图，将球门框内的区域分成9个区域（区域代码为19，球门框外的区域记做区域0），统计球员射点球时射中10个区域次数和进球次数（即使射中球门框内，也可能被守门员扑出），得到如下的两个频率分布条形图： （其中射中率，得分率）（1）根据上述频率分布条形图，求射中球门框内时，各区域进球数的平均数（结果保留两位小数）和中位数；（2）以该队员这1000次点球练习的进球频率作为他在比赛中射点球时进球的概率，设他在三次射点球时进球数为，求的分布列和期望.
16、【答案】（1）平均数；中位数为81（2）详见解析【解析】【分析】（1）先求得各区域的进球数，再求平均数和中位数即可；（2）先求得比赛中射点球时进球的概率，再根据服从二项分布，即可容易求得分布列和数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知，射中门框内的区域1时，进球数为，同理可求得区域29的进球数分别为：63，91，91，81，81，81，70，70.各区域进球数的平均数.容易知中位数为81.（2）由（1）可知该队员这1000次点球练习的进球数：，他在比赛中射点球时进球的概率.进球数为一个随机变量，可能取值为0，1，2，3.且.，.随机变量的分布列为：01230.0270.1890.4410.
17、343.【点睛】本题考查由平均数和中位数的计算，以及利用二项分布求随机变量的分布列和数学期望，属综合中档题.20.在平面直角坐标系中，的顶点，且、成等差数列.（1）求顶点的轨迹方程；（2）直线与顶点的轨迹交于两点，当线段的中点落在直线上时，试问：线段的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）恒过定点；定点【解析】【分析】（1）由正弦定理，结合椭圆定义，即可容易求得轨迹方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得中点的坐标，根据其纵坐标为，即可求得的等量关系，再求出直线垂直平分线的方程，再求直线恒过的定点即可.【详解】（1）在中，根据正
18、弦定理，可得，且，由椭圆定义，可知顶点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆（不包括与轴交点）.，轨迹方程为.（2）设， 由，得，点落在直线上，线段的垂直平分线方程为，即，线段的垂直平分线恒过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中直线恒过定点问题的求解，涉及正弦定理，属综合中档题.21.设函数.（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）设，若当时，函数的两个极值点满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求函数求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性，即可求得结果；（2）根据题意，先求得的范围，再利用进行适度放缩，即可由对勾函数单调性，容易证明.【详解】（
19、1）由已知，可知函数的定义域为，在上有两个零点，设，当时，为增函数，不存在两个零点；当时，得，时，为增函数，时，为减函数.且此时当趋近于时，趋近于负无穷；当趋近于正无穷时，趋近于负无穷.故要满足题意，只需：，实数的取值范围是.（2）证明：，由的两根为，故可得，又，解得，设，则，当时，为增函数，当时，为减函数，令，则，在时单调递减，成立.【点睛】本题考查利用导数由函数极值点个数求参数范围，以及利用导数证明不等式，属压轴题.请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.【选
20、修44：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，曲线与曲线的参数方程分别为（为参数）和（为参数）.（1）当时，求曲线与曲线的普通方程；（2）设，若曲线与曲线交于两点，求使成为定值的点的坐标.【答案】（1）；（2）点的坐标为【解析】【分析】（1）代入消元即可容易求得的普通方程；利用加减消元法即可容易求得的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角方程，利用参数的几何意义，表示出目标式，即可由其为定值容易求得结果.【详解】（1）消去参数，得到曲线的普通方程为，曲线的普通方程为.（2）将的参数方程代入，可得，设两点对应参数分别为，.，当时，为定值，与曲线的倾斜角无关.点的坐标为.【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的相互转化，以及利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属综合基础题.【选修45：不等式选讲】23. 已知函数.（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分离参数，将问题转化为求函数在区间上的最值即可；（2）脱去绝对值，利用均值不等式，即可容易求得函数的最大值.详解】（1），由恒成立，得，恒成立.设，则，的取值范围是.（2）当时，当且仅当，即时取“”号.又，当时，函数在上的最大值为.【点睛】本题考查分离参数法求参数范围，以及由均值不等式求函数的最值，属综合基础题.
