1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-1 第二章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 空间向量与立体几何 第二章 第二章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 向量(或矢量)，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电 场 强 度、磁 感 应 强 度 等 都 是 向量“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系
2、起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.第二章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数abi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和
3、向量部分)，以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础第二章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变向量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具第二章
4、 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 链接生活：第二章 空间向量与立体几何成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 2.1 从平面向量到空间向量第二章 第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 知识要点解读2预习效果检测3课堂典例讲练4课 时 作 业6易混易错辨析5课前自主预习1第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课前自主预习第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1空间向量的概念向量是既有大小又有方向的量，如果把问题的研究范
5、围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果把问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向量即空间中_的量叫作空间向量既有大小又有方向2空间向量的表示与平面向量一样，空间向量也有两种表示法一种是用有向线段AB表示，A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点；一种用 a，b，c 表示，也可用 a、b、c表示第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 3空间向量的长度和夹角(1)与平面向量一样，空间向量的_也叫作向量的长度或模，用|AB|或|a|表示大小第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 (2)如图所示，过空间任意一点 O 作向量 a、
6、b 的相等向量OA 和OB，则AOB 叫作向量 a、b 的夹角，记作a，b，规定_.当a，b_时，向量 a 与 b 垂直，记作 aB当a，b_时，向量 a 与 b 平行，记作 aB由定义可知，两个向量的夹角是唯一确定的，且a，bb，a0 a，b 20或第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 4向量与直线直线的方向向量：如图，l 是空间一直线，A、B 是直线 l 上任意两点，则称AB为直线 l 的方向向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 5向量与平面(1)平面的法向量：如果直线 l 垂直于平 面 ，那 么把_叫作平面的
7、法向量(2)共面向量：在空间中，如果_，则称这个向量平行于该平面平行于同一平面的一组向量叫作共面向量不共面向量：不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向量直线l的方向向量a一个向量所在直线平行于一个平面第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 知识要点解读第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移的，与起点无关2空间中的所有向量的方向不都是一定的，例如零向量的方向就不确定，可
8、以认为是任意方向3与向量a相反的向量是一个向量，它的方向和a的方向相反，大小和a的大小相等与向量a相等的向量，它的方向和a的方向相同，大小和a的大小相等第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 4能平移到同一个平面内的向量为共面向量由于向量可以根据需要进行平移，因此空间中任意两个向量都是共面向量，但空间中任意三个向量不一定共面5平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量6与AB平行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量直线的方向向量平行于该直线给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，可以确定唯一一条过点 A 且平行于
9、向量 a 的直线第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 预习效果检测第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 1若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定()A有不同的方向 B有不相等的模C不可能是平行向量D不可能都是零向量答案 D解析 a、b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A、B、C都不正确，只有D正确第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 2若命题 M：AA BB；命题 N：四边形 ABBA是平行四边形，则 M 是 N 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分
10、又不必要条件答案 B第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 由四边形 ABBA是平行四边形，可得AA BB.但是由AA BB，只能说明AA 与BB 是相等向量，AA与BB 所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形ABBA，所以 M 是 N 的必要不充分条件第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 3下列有关向量的命题是真命题的是()A所有的单位向量的模为 1 且共线B若|a|b|，则这两个向量的长度相等且方向相反C若向量AB、CD 满足|AB|CD|且AB与CD 同向，则ABCDD若两个非零向量AB与CD 满足
11、ABCD 0，则AB与CD 平行答案 D第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 A单位向量模为 1，但方向不同，不能确定共线，不正确；B若|a|b|，则 a 与 b 只有模相等，方向不确定，因此B 不正确；C若|AB|CD|且AB和CD 同向，则ABCD，因此ABCD 不正确；D由ABCD 0，知AB与CD 是相反向量，因此AB与CD 平行第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 4 直 线 的 方 向 向 量 与 直 线 上 任 意 一 向 量 的 夹 角 是_答案 0或180解析 由直线的方向向量的定义易得第二章
12、2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 5 在 正 四 面 体ABCD中，AB 与 BC 的 夹 角 为_分析(1)AB与BC 的夹角的大小和AB与CB 的夹角的大小是否相同？(2)向量夹角的顶点与向量起点有什么联系？答案 120解析(1)根据定义，AB，BC120，AB，CB60，大小不同；(2)两向量夹角的顶点是它们共同的起点第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课堂典例讲练第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 向量的有关概念给出下列五个命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相
13、同；若空间两向量 a、b 满足|a|b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中必有ACA1C1；若空间向量 m、n、p 满足 mn，np，则 mp；空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的个数为()A4 B3C2D1第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但中向量 a 与 b 的方向不一定相同，故不对；根据正方体的性质，在正方体 ABCDA1B1C1D1
14、 中，向量AC和A1C1 不但方向相同而且长度相等，故应有ACA1C1，所以正确；显然正确；对于，空间任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以不对答案 C第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思 本题重点考查了空间向量的相关概念，解决此类题往往借助实例和举反例的方法求解，因此，又考查了数形结合思想、特殊与一般的思想第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点H、M、G分别为线段EF、AD、BC的中点(1)举出图中与向量AF相等的向量；(
15、2)向量EC是否与HG 平行？(3)举出图中与向量BG 相反的向量分析 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相同向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致两空间向量平行与否与向量的方向无关第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析(1)与向量AF相等的向量有向量MH 和向量DE.(2)由于点 H、M、G 分别为线段 EF、AD、BC 的中点，所以HGEC，即向量EC与HG 平行(3)与向量BG 相反的向量有GB、CG、MA、DM、EH 和HF.第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 向量的夹角如图，已知正方体 ABCDA1
16、B1C1D1 中，求：(1)B1C，AA1；(2)CA，DA1 第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析(1)因为AA1 BB1，所以将AA1 平移至BB1 处，则B1C，AA1 B1C，BB1，大小为BB1C 的补角由正方体性质可得BB1C45，故，B1C，AA1 135.(2)连接 AB1，因为DA1 CB1，所以将DA1 平移至CB1，则CA，DA1 CA，CB1 大小为ACB1.由正方体性质知 ACCB1AB1，所以ACB1 为正三角形，所以ACB160，即CA，DA1 60.第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2
17、-1 总结反思 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求如第(1)问中，将向量AA1 平移至BB1处，由于B1C，BB1 的起点不相同，所以得到的BB1C 为应求两向量夹角的补角同学们注意体会！第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如图，M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCDABCD的棱 BB、BC的中点，求：(1)向量AB与CD 的夹角；(2)向量MN 与DA 的夹角第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析(1)由正方体的性质可以得到ABDC，CD 与CD 的夹角为 45，DC 与
18、CD 的夹角为 135.所以向量AB与CD 的夹角为 135.(2)连接 BC，M、N 分别是 BB、BC的中点，所以MNBC，又 BCAD，因此向量MN 与DA 共线反向，其夹角为.第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 对于平行四边形ABDC，图中的五个向量中各个向量之间的关系如何？在图中画出平行四边形ABDC的一个法向量分析 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、相反或平行作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平面内两个相交向量即可法向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 五个向量都在一个平面内，所以
19、是共面向量其中向量AB与CD 长度相等且方向相同，所以AB与CD 相等，向量AC与DB 大小相等且方向相反，所以向量AC与DB 相反，两向量也平行法向量 b 如图所示第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如图，三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，ABBC，且 SAABBC，M 为 SB 的中点求证：AM 是平面 SBC 的法向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 证明 SA平面 ABC，SABC又 AB BC，SAABA，BC平面 SABAM 平面 SAB，BCAM SAAB，M 为 SB 的中点，AMSB 由知
20、，AM平面 SBC，所以AM 是平面 SBC 的法向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 方向向量已知四棱锥SABCD的底面ABCD是平行四边形，设平面 SAD平面 SBCl，如图，求证：向量BC是 l 的一个方向向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析 BCAD，BC平面 SAD，AD 平面 SAD，BC平面 SAD，又平面 SBC平面 SADl，BCl，BC是 l 的方向向量总结反思 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可都
21、可转化为已学过的空间几何问题第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 如 图，在 正 方 体 ABCDA1B1C1D1中，(1)分别给出直线AA1、BD的一个方向向量；(2)分 别 给 出 平 面 ADD1A1、平 面BB1D1D的一个法向量第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 解析(1)直线 AA1 的方向向量可以是AA1、BB1、CC1、DD1、A1A、B1B、C1C、D1D 中的任一个；直线 BD 的方向向量可以是BD、B1D1、DB、D1B1 中的任一个(2)平面 ADD1A1 的法向量可以是AB、DC、A1B1、
22、D1C1、BA、CD、B1A1、C1D1 中的任一个；平面 BB1D1D 的法向量可以是AC、CA、A1C1、C1A1 中的任一个第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 易混易错辨析第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 误解 A(或B或D)正解 C下列命题中正确的是()A若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B向量 a、b、c 共面即它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若 ab，则存在唯一的实数，使 ab第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 总结反思 在选项A中，若b0，则结论不成立；在选项B中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D中，若ab0时，有无数个满足等式，而不是唯一一个；若b0，a0，则不存在使aB第二章 2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 北师大版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）
