1、4.3向心力的实例分析每课一练1.如图2-3-13所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？图2-3-13解析：骑车拐弯时要不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车做匀速圆周运动所需要的向心力.（1）由图可知，向心力F=Mgtan，由牛顿第二定律有：mgtan=m,得=arctan.（2）由图可知，向心力F可看作合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和
2、支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即f=Mgtan=M.答案:（1）arctan （2）M2.飞行员驾机在竖直平面内做圆周特技飞行，若圆周半径为1 000 m，飞行速度为100 m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重量的多少倍.解析：如图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力T1，合力是向心力即Fn1=T1-mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力T2，合力产生向心力即Fn2=T2+mg.两个向心力大小相等且Fn=Fn1=Fn2=m,则此题有解：因为向心力Fn=m在最低点时,m=T1-mg则T1=m(+g)那么+1=2在最高点
3、时,m=T2+mgT2=m(-g)-1=0 则飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重量的两倍;飞至最高点时，飞行员对座椅无压力.3.如图2-3-14所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为m的小球，试管的开口端加盖与水平轴O连接.试管底与O相距r，试管在转轴带动下沿竖直平面做匀速圆周运动(g取10 m/s2)，则（1）转轴的角速度为_时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍.（2）转轴的角速度为_时，会出现小球与试管底脱离接触的情况.图2-3-14解析：（1）根据题意，当试管转至竖直下方时，小球对试管底部的压力最大，压力大小Fmax=F向+mg=mr2+mg；当试管转至竖直上方时，小球
4、对试管底部的压力最小，压力大小Fmin=mg-F向=mg-mr2，由Fmax=3Fmin可得=.（2）这种情况发生在当试管转至竖直上方时，此时试管底部对小球没有压力，只由重力提供小球的向心力，mg=mr2，=.答案:(1) (2)4.如图2-3-15所示，内壁光滑的导管弯成圆轨道竖直放置，轨道半径为r，连同底座质量为2m.小球质量为m，在管内滚动，当小球运动到最高点时，装置刚好要离开地面，此时小球速度多大?图2-3-15解析：根据题意，小球经过最高点时，装置受重力和小球的向上的弹力，两者大小相等2mg=F.小球受重力和管道的向下的弹力，两者提供向心力,mg+F=m，与上式结合得v=.答案:v=
5、5.如图2-3-16所示，质量为m的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中AC绳长L=2 m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角1=30，2=45，问：当细杆转动的角速度在什么范围内，A、B两绳始终张紧？图2-3-16解析：若角速度太小，则BC松弛，设角速度为1时，BC绳刚好伸直，则有：mgtan30=mr12，r=Lsin30得：1=角速度为2时，AC绳就要松弛，则有：mgtan45=mr22 2=.答案:6.人类将来要离开地球到宇宙中去生活，可以设计成如图2-3-17所示的宇宙村，它是一个圆桶形的建筑，人们生活在圆桶的内壁上.为了使人们在其中生活不致有失重感，可以让
6、它旋转.设这个建筑的直径为200 m，那么，当它绕其中心轴转动的角速度为多大时人类感觉像生活在地球上一样（承受10 m/s2的加速度）？如果角速度超过了上述值，人们将有怎样的感觉？图2-3-17解析：处于宇宙空间的物体处于完全失重状态，现要生活在宇宙村中的人无失重感，就让该装置转动，处于宇宙村边缘的人随宇宙村一起旋转，当其向心加速度为题中所给的10 m/s2对应的角速度就是所求.由向心加速度的公式a=r2，=rad/s.答案: =rad/s，超重感7.如图2-3-18所示，在圆柱形屋顶中心天花板上O点，挂一根L=3 m的细绳.绳的下端挂一个质量m=0.5 kg的小球.已知绳能承受的最大拉力为1
7、0 N，小球在水平面内做圆周运动.当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度恰落在墙角边，求这个圆柱形房顶的高度H和半径R（取g=10 m/s2）.图2-3-18解析:绳将要断时，小球在水平面内做匀速圆周运动，r表示轨迹半径，h表示房顶距轨迹平面的高度，如图所示，此时小球受到的向心力为:Fn=5 N向心加速度an=10 m/s2绳与竖直方向的夹角为，则tan=，应有=60由图可知:r=Lsin=mh=Lcos=m用v0表示小球做匀速圆周运动的线速度，由an=得v0=3m/s绳断后小球做平抛运动，落地前竖直分速度vy=6 m/s那么H=+h=3.3 m平抛运动的时间t=0.6 s平抛运
8、动的水平位移x=v0t=m由几何知识知:R=x2+r2=4.8 m.答案:H=3.3 m R=4.8 m8.【解析】由表中提供的信息可得，在相同的速率下，运动员在最内侧和最外侧跑道上比赛时，向心力相差约19%，人体的倾斜角度相差近3，这正是运动员重视比赛道次安排的重要原因.根据圆周运动的知识，弯道跑中，要有意识地使身体向圆心方向倾斜，蹬地与摆动方向都应与身体向圆心方向倾斜趋于一致，使人的重力和地面的弹力的合力提供向心力，但对于不同道次上的运动员来说，跑道半径R不同，即使速率相同，要求人体的倾斜角度也是不同的.9.质量为25 kg的小孩坐在质量为5 kg的秋千板上,秋千板离拴绳子的横梁2.5 m.如果秋千板摆动经过最低点的速度为3 m/s,这时秋千板所受的压力是多大?每根绳子对秋千板的拉力是多大?(g取10 m/s2)10.如图5所示, 一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO转动,筒内壁粗糙,筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块.求：(1)当筒不转动时,物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小;(2)当物块在A点随筒做匀速转动,且其受到的摩擦力为零时,筒转动的角速度.为了提高竞赛成绩，从技术这方面应如何去做？
