1、第10讲 回归分析与独立性检验 考纲要求考点分布考情风向标1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解下列一些常见的统计方法、并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)了解回归分析的基本思想及其简单应用2012年新课标卷考查样本的相关系数；2014年新课标卷考查非线性拟合、线性回归方程求法、利用回归方程进行预报预测；2015年新课标卷考查非线性拟合、线性回归方程求法、利用回归方程进行预报预测由于该部分内容的特殊性，高
2、考对该部分的考查一直非常慎重.高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用.因此，复习时要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式.此部分内容也可能结合概率统计的其他内容命制综合解答题.另外，复习时要把独立性检验作为重点1.变量间的关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.(3)正相关、负相关.在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关
3、系称为正相关.在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.2.回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)线性相关关系：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(3)回归直线的求法：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法，则回归直线方程的系数为：(xn，yn)，通过求 Q1ni(yibxia)2 的最小值而得到回归直线ybxa样本点
4、的中心1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxnxaybx其中 x1n1niix，y1n1niiy，(x，y)称作_.(4)线性相关强度的检验：r12211()()()()niiinniiiixxyyxxyy1222211()()niiinniiiix ynxyxnxyny叫做 y 与 x 的相关系数，简称相关系数.当 r0 时，表明两个变量正相关；当 rb，aa B.bb，aaC.ba D.bb，aa解析：由表格知，x216 72，y136.则b1022314353646721361222324252626722 57，a yb x136 57721
5、3.答案：C由两组数据(1,0)和(2,2)，得 x32，y1.则 b10222321122223222，a yb x12322.综上所述，ba.故选 C.【规 律 方 法】回 归 直 线 方 程 为 y b x a，其 中 b 1221niiiniix ynxyxnx，a yb x.其中 x1n1niix，y1n1niiy，点(x，y)称为样本点的中心，回归直线都经过样本点的中心.x345678y4.02.50.50.52.03.0【互动探究】1.(2014 年湖北)根据如下样本数据：得到的回归方程为ybxa，则()A.a0，b0，b0C.a0，b0D.a0解析：依题意，画散点图，如图 D6
6、9，两个变量负相关，图 D69答案：A所以b0.考点 2 独立性检验例 2：(2014 年安徽)某高校共有 15 000 人，其中男生有 10500 人，女生有 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).(1)应收集多少位女生样本数据？(2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 9-10-1)，其中样本数据分组区间为：0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率.图 9-10-1(
7、3)在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：K2n(adbc)2.(ab)(cd)(ac)(bd)解：(1)应收集女生样本数据为 300 450015 00090.(2)由频率分布直方图，得 12(0.1000.025)0.75，所 以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率为 0.75.P(K2k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879项目男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4 个小时4
8、53075每周平均体育运动时间超过 4个小时16560225总计21090300(3)由(2)知，300 名学生中有 3000.75225 名学生每周平 均体育运动时间超过 4 个小时，75 名学生每周平均体育运动时 间不超过 4 个小时，又因为该数据中有男生210 名，女生90 名，根据题意列表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表计算 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)300(456030165)24.7623.841.7522521090因此有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【规律方法】解决独立性检验问题的一般步骤：制作列联表；
9、利用公式 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)计算，近似计算要精确到小数点后三位；查表得出结论，要选择满足条件 P(K2k0)的k0作为拒绝域的临界值.项目不及格及格总计男61420女102232总计163652【互动探究】2.(2014 年江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表 1成绩项目不及格及格总计男41620女122032总计163652项目不及格及格总计男81220女82432总计163652表 2表 3视力智商项目不及格及格总计男
10、14620女23032总计163652表 4A.成绩C.智商阅读量B.视力D.阅读量解 析：由公式 K2 n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)计算得A.528216362032，B.52112216362032，C.5296216362032，D.52408216362032.显然 D 的值最大，说明阅读量与性别有关联的可能性最大.答案：D考点 3 回归分析的综合运用 例 3：(2015 年新课标)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量 yi(i1，
11、2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图(如图 9-10-2)及一些统计量的值.图 9-10-2(1)根据散点图判断，yabx 与 ycd ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx ，根据(2)的结果回答下列问题：46.65636.8289.81.61469108.881i(xi x)281i(wiw)281i(xi x)(yi y)81i(wiw)(yi y)xywx表中 wi xi，w 1881ii.
12、当年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()niiiniiuuuu，u.解：(1)由散点图可以判断，ycd x适合作为年销售 y关于年宣传费用 x 的回归方程类型.(2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程，d81821()()()iiiiiww yyww108.81.6 68.c yd w563686.8100.6.y 关于 w 的线性回归方程为y100.668w.y 关于 x 的回归方程为y10
13、0.668 x.(3)由(2)知，当 x49 时，年销售量 y 的预报值y100.668 49576.6，z576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值z0.2(100.668 x)xx13.6 x20.12.当 x13.62 6.8，即 x46.24 时，z取得最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.年份2007200820092010201120122013年份代号 t1234567人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9【互动探究】3.(2014 年新课标)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位：
14、千元)的数据如下表：(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：解：(1)由所给数据计算得 t 17(1234567)4，y 17(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，71(t t1 t)2941014928，b121()()()niiiniittyytt，a ybt.71(t t1 t)(y1 y)(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.931.614
15、.b71721()()()iiiiittyytt14280.5，a y b t4.30.542.3.所求回归方程为y0.5t2.3.(2)由(1)知，0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元.将 2015 年的年份代号 t9 带入(1)中的回归方程，得 0.592.36.8.故预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元.by日期1 月 11 日 1 月 12 日 1 月 13 日 1 月 14 日 1 月 15 日平均气温/91012118销量/杯2325302621易错、易混、易漏对回归分析的理解例题：(201
16、5 年广东广州调研)某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温(单位：)与该奶茶店的这种饮料销量(单位：杯)，所得数据如下表：(1)若从这 5 组数据中随机抽出 2 组，求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；(2)请根据所给的 5 组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa.正解：(1)设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事 件 A.所有基本事件(m，n)(其中m，n 为1月份的日期数)有(11,12)，(11,13)，(11,14)，(11,1
17、5)，(12,13)，(12,14)，(12,15)，(13,14)，(13,15)，(14,15)，共 10 种.事件A 包括的基本事件有(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，共 4 种.P(A)41025.(2)由数据，求得 x91012118510，y2325302621525，b(910)(2325)(1010)(2525)(1210)(3025)(1110)(2625)(810)(2125)(910)2(1010)2(1210)2(1110)2(810)22.1.a yb x4.y 关于 x 的线性回归方程为y2.1x4.1.求回归方程，关键在于正确求出系数 a，b，由于 a，b 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误.(注意回归直线方程中一次项系数为 b，常数项为 a，这与一次函数的习惯表示不同)2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：确定特定量之间是否有相关关系，如果有，就找出它们之间的数学表达式；根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；求出回归直线方程.3.独立性检验中统计量 K2 的观测值 k 的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错.
