1、课后限时集训(五十六)曲线与方程建议用时：40分钟一、选择题1若方程x21(a是常数)，则下列结论正确的是()A任意实数a方程表示椭圆B存在实数a方程表示椭圆C任意实数a方程表示双曲线D存在实数a方程表示抛物线B当a0且a1时，该方程表示椭圆；当a0时，该方程表示双曲线；当a1时，该方程表示圆故选B2已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24xA设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹
2、C的方程为x24y.3(2020静安区二模)方程2x29xy8y20的曲线C所满足的性质为()不经过第二、四象限；关于x轴对称；关于原点对称；关于直线yx对称A B C DA由题意，2x29xy8y20化为：9xy2x28y20，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，正确；y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以不正确；以x代替x，以y代替y，方程不变，所以正确；方程2x29xy8y20，x，y互换，方程化为8x29xy2y20，方程已经改变，所以不正确故选A4(2020成都模拟)设C为椭圆x21上任意一点，A(0，2)，B(0,2)，延长AC至点P，使得|PC|BC
3、|，则点P的轨迹方程为()Ax2(y2)220 Bx2(y2)220Cx2(y2)25 Dx2(y2)25B如图，由椭圆方程x21，得a25，b21，c2，则A(0，2)，B(0,2)为椭圆两焦点，|CA|CB|2a2，|PC|BC|，|PA|PC|CA|BC|CA|2.点P的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，其方程为x2(y2)220.故选B5在ABC中，B(2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC周长为10C1：y225ABC面积为10C2：x2y24(y0)ABC中，A90C3：1(y0)则满足条件，的轨
4、迹方程依次为()AC3，C1，C2 BC1，C2，C3CC3，C2，C1 DC1，C3，C2AABC的周长为10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；ABC的面积为10，所以|BC|y|10，即|y|5，与C1对应；因为A90，所以(2x，y)(2x，y)x2y240，与C2对应故选A6设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|5，则点M的轨迹方程为()A1 B1C1 D1A设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由，得(x，y)(x0,0)(0，y0)，则 解得由|AB|5，得25，化简得1.二
5、、填空题7已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为 (x10)2y236(y0)设A(x，y)，则D.|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.8一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且2，则点P的轨迹方程是 4x2y216(x0，y0)设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2b236.因为2，所以(xa，y)2(x，by)，所以即代入a2b236，得9x2y236，即4x2y216.9已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B
6、(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是 1(y0)设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)三、解答题10在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，求顶点A的轨迹方程解以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.所以|AB|AC|24，所以点A的轨迹为以B，C为焦
7、点的双曲线的右支(y0)，且a，c2，所以b，所以轨迹方程为1(x)11.如图，P是圆x2y24上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解(1)设M(x，y)，则D(x,0)，由知，P(x,2y)，点P在圆x2y24上，x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C为椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设A(x1，
8、y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.四边形OAEB为平行四边形，(x1x2，y1y2)，又(x，y)，消去k，得x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，0x.顶点E的轨迹方程为x24y26x0.1(2020宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是()A抛物线B双曲线一支C椭圆D抛物线或双曲线B房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与
9、壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支故选B2.(2020湖北八校二联)如图，AB是与平面交于点A的斜线段，点C满足|BC|AC|(0)，且在平面内运动，给出以下几个命题：当1时，点C的轨迹是抛物线；当1时，点C的轨迹是一条直线；当2时，点C的轨迹是圆；当2时，点C的轨迹是椭圆；当2时，点C的轨迹是双曲线其中正确的命题是 (将所有正确命题的序号填到横线上)在ABC中，|BC|AC|，当1时，|BC|AC|，过AB的中点作线段AB的垂面，则点C在与的交线上，所以点C的轨迹是一条直线当2时，|BC|2|AC|，设B在平面内的射影为D，连接BD，CD，AD(图略)设|BD|h，则|BC|.设|AD|2a
10、，在平面内，以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C(x，y)，则A(a,0)，D(a,0)，|CA|，|CD|，|CB|，所以2，化简可得y2，所以当2时，点C的轨迹是圆故正确3在平面直角坐标系中，已知A1(，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，2)，若实数使得2(O为坐标原点)求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型解(x,1)，(x，2)，(x，y)，(x，y)2，(x22)2x22y2，整理得(12)x2y22(12)当1时，方程为y0，轨迹为一条直线；当0时，方程为x2y22，轨迹为圆；当(1,0)(0,1)
11、时，方程为1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；当(，1)(1，)时，方程为1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1(2020浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物曲线C：(x2y2)316x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有()方程(x2y2)316x2y2(xy0)，表示的曲线在第二和第四象限；曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4；曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)A B C DA对于，因为xy0，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，即正确对于，因为x2y2
12、2xy(x0，y0)，所以xy，所以(x2y2)316x2y2164(x2y2)2，所以x2y24，即正确对于，以O为圆点，2为半径的圆O的面积为4，显然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，即错误把x，y代入曲线C，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(，)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即错误故选A2(2020宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，
13、正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|OB|OC|30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播V0千米)(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？解(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的
14、时间比B点接收到信号的时间早秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c30,2a40，所以a20，则b10，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为1，x0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在yx(x0)上，所以可得x20，y20，观察员遇险地点坐标(20，20)，观察员遇险地点与监测中心O的距离为20.(3)由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x2(y30)2r2，与1，x0联立，消去x可得9y2300y6 5005r20，90 00036(6 5005r2)0，解得r20.为保证有救援希望，扫描半径r至少是20公里
