1、四川省成都外国语学校 2020-2021 学年高二下学期第三次（6 月）月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.设集合 ，集合 ，则 =（）A.4B.，C.，D.，2.已知复数 ，在复平面内 和 所对应的两点之间的距离是（）A.B.2C.D.43.用反证法证明命题“已知 为实数，若 ，则 不都大于 2”时，应假设（）A.都不大于 2B.都不小于 2C.都大于 2D.不都小于 24.南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米 1512 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 216 粒内夹谷 27 粒，则这批米
2、内夹谷约（）A.164 石B.178 石C.189 石D.196 石5.公比不为 1 的等比数列 满足 ，若 ，则 的值为（）A.8B.9C.10D.116.在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的伸缩变换是（）A.B.C.D.7.若曲线 关于直线 对称，则 的最大值为（）A.B.C.D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.17D.689.执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中应填入（）A.？B.？C.？D.？10.设双曲线 的右焦点为 ，圆 与双曲线 的两条渐近线相切于 ，两点，其中 为坐标原点，延长 交双曲线
3、 的另一条渐近线于点 ，过点 作圆 的另一条切线，设切点为 ，则 （）A.B.C.3D.11.已知定义在 R 上的偶函数 满足 ，且 在 上递减.若 ，则 a，b，c 的大小关系为（）A.B.C.D.12.已知函数 ，若方程 有两个不相等的正实根，则实数 m 的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若变量 x，y 满足 ，则目标函数 的最小值为_14.已知函数 ，则 _.15.某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表：广告费用(万元)4 2 3 5销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广
4、告费用为 6 万元时销售额为_万元.16.已知 ，若点 是抛物线 上的任意一点，点 是圆 上任意一点，则 最小值是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，第 22 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分）17.已知函数 （1）求函数 的单调区间（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体 15%、35%、35
5、%、13%和 2%划定 、五个等级，并分别赋分为90 分、80 分、70 分、60 分和 50 分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（）班（共 40 人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分 100 分）频率分布直方图，地理成绩（满分 100 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82 分，地理 70 多分（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为 80 分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理
6、的概率19.如图，在圆锥 中，为 的直径，点 在 上，（1）证明：平面 平面 ；（2）若直线 与底面所成角的大小为 ，是 上一点，且 ，求二面角 的余弦值20.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到右焦点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （1）求椭圆 的标准方程：（2）设 和 是通过椭圆 的右焦点 F 的两条弦，且 .问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.21.已知函数 （，且 ）（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 在区间 内有两个极值点，求实数 的取值范围.22.在平面直角坐标系 中，已知直线 （为参数）以坐标原点 为极点，轴的正
7、半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 的值答案解析部分一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1.设集合 ，集合 ，则 =（）A.4B.，C.，D.，【答案】B 【考点】交集及其运算【解析】【解答】因为 或 所以 ,故选 B。【分析】先化简 A，再求交集。2.已知复数 ，在复平面内 和 所对应的两点之间的距离是（）A.B.2C.D.4【答案】C 【考点】向量的几何表示，向量的模【解析】【解答】在复平面内，Z1 对应的点为（1，1），Z2 对应的点为（2，0）
8、所 ，故答案为：C。【分析】先写出 Z1,Z2 在复平面对应的点，再利用两点间的距离公式求解。3.用反证法证明命题“已知 为实数，若 ，则 不都大于 2”时，应假设（）A.都不大于 2B.都不小于 2C.都大于 2D.不都小于 2【答案】C 【考点】命题的否定【解析】【解答】即原题设的否定：设 a,b 都大于 2.故答案为：C【分析】即原题设的否定。4.南宋数学家秦九韶所著数学九章中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米 1512 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 216 粒内夹谷 27 粒，则这批米内夹谷约（）A.164 石B.178 石C.189 石D.196 石【答案】C 【考
9、点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【解析】【解答】由已知条件可知，抽得样本中含谷 7 粒，占样本的比例为 ，由此估计总体中谷的含量为 石。故答案为：C。【分析】先求样本中谷的比例，再求结果。5.公比不为 1 的等比数列 满足 ，若 ，则 的值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【考点】等比数列，等比数列的通项公式【解析】【解答】由等比数列的性质有 ，又 ，则 2+m55+611，所以 m=9.故答案为：B【分析】利用等比数列的性质求解。6.在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的伸缩变换是（）A.B.C.D.【答案】B 【考点】伸缩变换【解析】【解答】将曲线 y=2sinx 变为曲线
10、 y=sinx，即 y=sinx，横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标为原的 ，故曲线 y=sinx 的伸缩变换是 .故答案为：B【分析】根据图象平移公式判断。7.若曲线 关于直线 对称，则 的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的奇偶性与对称性【解析】【解答】因为 关于直线 对称，所以 ，所以 又因为 ，所以 的最大值是 .故答案为：B【分析】先根据正弦函数的性质，写出该函数的对称轴的通式，再由 的范围确定最大值。8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，图示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.17D.68【答案】C 【考点】由三视图求
11、面积、体积【解析】【解答】由题意可知，该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，其底面是一个腰为，底面上的高为的等腰直角三角形，故其外接圆半径为 ,棱柱的高为，故球心到底面外接圆的圆心的距离为 故棱柱外接球半径为 ,所发外接球的表面积为 S=4R2=17S.故答案为：C.【分析】该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可求得体积。9.执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中应填入（）A.？B.？C.？D.？【答案】C 【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用【解析】【解答】由题意可知，输出的 S 的值为数列 的前项的和，因为 ）,则 =,令 ，解得
12、 n，所以应填入,故答案为：C.【分析】本题为求数列前 n 项和的算法程序，实际计算和即可得到的值。10.设双曲线 的右焦点为 ，圆 与双曲线 的两条渐近线相切于 ，两点，其中 为坐标原点，延长 交双曲线 的另一条渐近线于点 ，过点 作圆 的另一条切线，设切点为 ，则 （）A.B.C.3D.【答案】A 【考点】圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】因为圆 F 与双曲线 G 的两条渐近线相切(如图），所以=|AF|=2,=|OA|=1,在 中，所以 所以 故答案为：D.【分析】作出图形，由渐近线斜率 ，然后利用三角形边角关系即可得到结果。11.已知定义在 R 上的偶函数 满足 ，且 在 上递减.若
13、，则 a，b，c 的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A 【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】因为定义在 R 上的偶函数，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以 是以 2 为周期的周期函数，又 在 上递减，所以在 递增，因为 ，在 上递增，所以 ，即 ，故答案为：A.【分析】由 在 R 上是偶函数且在 上递减，可得在 递增，然后比较 的自变量，进而判断得出结果。12.已知函数 ，若方程 有两个不相等的正实根，则实数 m 的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】对数函数图象与性质的综合应用，函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】因为
14、，,且()=()有两个不相等的正实根，所以 有两个不相等的正实根，即方程 有两个不相等的正实根，设 h(x)=xex，所以 的图象与直线 在 上有两个不相同的交点，因为 x0 时，h(x)=ex（x+1）0，所以（）在 上单调递增，作出 h(x)=xex 在 上的大致图象，如下当0 时，若直线 与 h(x)=xex 的图象相切，设切点为(t，tet)(t0)，则切线方程为 y-tet=et(1+t)(x-t)，易知切点为 ,所以-tet=et(1+t)(-t),解得或（舍去），所以该切线的斜率为 h(1)=2e，若 h(x)=xex 的图象与直线 在 上有两个不相同的交点，则由数形结合可以得到
15、 m2e,故答案为：D【分析】作出函数图象，将方程解的问题，转化成求图象交点问题来求解。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若变量 x，y 满足 ，则目标函数 的最小值为_【答案】-10 【考点】简单线性规划【解析】【解答】由约束条件画出可行域（如图）联立 )解得 )即 A（，）,由 z=x-2y，得 ,由图可知，当直线 过点 A 时，直线 的截距最大，此时 z 有最小值-10，故答案为：-10.【分析】画出可行域，再由目标函数，由数形结合的方法即可求得结果。14.已知函数 ，则 _.【答案】-4 【考点】变化的快慢与变化率【解析】【解答】因为（），而 则 【分
16、析】由导数的定义，将原式化为：15.某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表：广告费用(万元)4 2 3 5销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为_万元.【答案】65.5 【考点】线性回归方程【解析】【解答】因为 根据样本中心点在回归直线上，而回归直线方程中的 ，所以 42=9.43.5+a，则 a=9.1，则回归方程为：y=9.4x+9.1，则广告费为元时，销售额为 9.46+9.1=65.5.【分析】先求的平均值，由回归中心点在回归直线上，代入求得得到回归方程，然后再求结果。16.已知 ，若点 是抛物线 上的任意
17、一点，点 是圆 上任意一点，则 最小值是_ 【答案】【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】由题意得抛物线 的焦点为 ，准线方程为 又点 是抛物线上一点，点 是圆 上任意一点，令 ，点 的坐标为 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立 的最小值为 故答案为 【分析】首先根据题意得抛物线 的焦点以及准线方程，根据已知条件得出 ，令 ，点 的坐标为 ，根据圆的几何性质得出结果。三、解答题（本大题共 6 小题，第 22 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分）17.已知函数 （1）求函数 的单调区间（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）解：令 ，解得 或 ，令 ，解得：故函数
18、的单调增区间为 ，单调减区间为 （2）解：由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，对 恒成立，即 ，【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（）求导，求导数大于及小于的区间，即能求单调区间；（）将原不等式分离参数，讨论函数在 上的单调性，再求函数的最 小值，即可求得结果。18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体 15
19、%、35%、35%、13%和 2%划定 、五个等级，并分别赋分为90 分、80 分、70 分、60 分和 50 分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（）班（共 40 人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分 100 分）频率分布直方图，地理成绩（满分 100 分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82 分，地理 70 多分（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为 80 分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试
20、选考科目包括地理的概率【答案】（1）解：90 分（2）解：40 名学生中，地理赋分为 90 分有 人，这六人的原始成绩分别为 96，93，93，92，91，89；赋分为 80 分有 人，其中包含原始成绩为 80 多分的共 10 人，70 多分的有 4人，分别为 76，76，77，78；小明的地理成绩最后得分为 80 分，且原始成绩为 70 多分，小明的原始成绩的可能值为 76，77，78（3）解：记地理、政治、物理、化学、生物依次为 、，小明从这五科中任选两科的所有可能选法有 ，共 种，而其中包括地理的有 ，共 4种，小明选考科目包括地理的概率为：【考点】频率分布直方图，茎叶图，古典概型及其概
21、率计算公式【解析】【分析】（）根据赋分方案，可得 求小明历史成绩的最后得分 为分；（）先计算出 40 名学生中，地理赋分为 90 分人数（人），且 六人的原始成绩分别为 96，93，93，92，91，89；再计算 赋分为 80 分的人（人），然后可以计算得到结果。（）先写出所有样本空间点，再写出满足条件的所要样本空间点，由古典概率公式直接求得。19.如图，在圆锥 中，为 的直径，点 在 上，（1）证明：平面 平面 ；（2）若直线 与底面所成角的大小为 ，是 上一点，且 ，求二面角 的余弦值【答案】（1）在圆锥 中，平面 ，则 ，又 为 的直径且点 在 上，则 ，因 ，则有 而 ，所以 平面 ，
22、又 平面 ，从而有平面 平面 （2）令 ，因为直线 与底面所成角的大小为 ，即 ，则 ，中，则 ，在平面 PDO 内，过点 D 作 Dz/PO，则 Dz平面 ABC，以射线 DO，DA，Dz 分别为 x，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则 ，又 是 上一点，即 ，点 ，而 ，即 ，则 ，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，令 y=1，则 ，即 ，又平面 的法向量 ，显然二面角 的平面角是锐角，所以二面角 的余弦值为 .【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理即可得证；（2）以射线 DO，DA，Dz 分别为 x
23、，y，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求出二面角 的余弦值。20.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到右焦点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （1）求椭圆 的标准方程：（2）设 和 是通过椭圆 的右焦点 F 的两条弦，且 .问是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：，解得：所以 ，椭圆 C 的方程为 （2）解：当 MN 和 PQ 一个斜率不存在另一个为 0 时，不妨令 MN 斜率不存在，则 ，当 MN 和 PQ 斜率都存在时，设直线 MN 的方程为 ，直线
24、 PQ 的方程为 .联立方程 得：，则 同理可得 则 综上可知存在常数 ，使得 恒成立【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（）由题意及椭圆的性质，有 ，即可得到 a,c 的值，进一步写出方程；（）首先讨论斜率不存在的情况，然后联立直线与椭圆的方程，韦达定理，求PQ,MN的表达式，从而将问题转化为函数求最值的问题，据此讨论计算即可确定常数入的存在性。21.已知函数 （，且 ）（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 在区间 内有两个极值点，求实数 的取值范围.【答案】（1）解：的定义域为 ，当 时，在区间 和 上 ，递减，在区间 上 ，递增.当 时，在区间 和 上 ，递
25、增，在区间 上 ，递减（2）解：，.当 时，.构造函数 ，依题意可知 在区间 上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反.，当 时，在区间 上递增，至多有一个零点，不符合题意.当 时，令 ，解得 .（i）若 即 ，则 在区间 上递减，至多有一个零点，不符合题意.（ii）若 即 ，则 在区间 上递增，至多有一个零点，不符合题意.（iii）若 ，即 ，则 在区间 上递增，在区间 上递减.当 时，；当 时，；.要使 在区间 上有两个零点，且零点两侧函数值符号相反，则需 ，解得 .综上所述，实数 的取值范围是 【考点】利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】
26、【分析】（）先求函数的定义域，再求导数，对 a 分：，两种情况进行分类讨论，由此求得（）的单调区间；（）先求（）的导数，构造函数（），依题意可知，（）在区间（，）上有两个零点，且零点两侧函数值异号，利用导数研究（）的零点，由此求得的取值范围。22.在平面直角坐标系 中，已知直线 （为参数）以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 的值【答案】（1）解：；（2）解：将 代入式，得 ，点 的直角坐标为 设这个方程的两个实数根分别为 ，则 ，由参数 的几何意义即得 【考点】极坐标系，参数方程化成普通方程【解析】【分析】（）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程与普通方程之间进行转换；（）利用一元二次方程根与系数关系式求出结果。
