1、第7讲 正弦定理和余弦定理 考纲要求考点分布考情风向标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2011年新课标卷考查余弦定理和面积公式；2012年新课标卷以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；2013年新课标卷以解三角形为背景，考查倍角公式及余弦定理；2014年新课标卷以解三角形为背景，考查正弦定理；2015年新课标卷以解三角形为背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面积公式三角函数与解三角形交汇命题，是近几年高考的热点，复习时应注意：1.强化正、余弦定理的记忆，突出
2、一些推论和变形公式的应用2.本节复习时，应充分利用向量方法推导正弦定理和余弦定理3.重视三角形中的边角互化，以及解三角形与平面向量和三角函数的综合应用，能够解答一些综合问题1正弦定理与余弦定理sincC正弦定理余弦定理定理2R，其中R是三角a2_；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC变形(1)abcsinAsinBsinC；(2)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；应用已知两角及任一边，求其他边或角；已知两边及一边对角，求其他边或角已知两边及夹角，求其他边或角；已知三边，求三个角cosAb2c2a22bc；cosBa2c2b22ac；cosCa2b2c22ab(3
3、)sinA a2R，sinB b2R，sinC c2RsinaAsinbB形外接圆的半径b2c22bccosAA 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解c)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.2SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R 12(ab3在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：2sin2Bsin2A1(2014 年江西)在ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若 3a2b，则sin2A的值为()DA19 B13 C1 D72解析：3a2b，b32a，由正弦定理，得2sin
4、2Bsin2Asin2A2b2a2a2294a2 a2a272.2(2015 年安徽)在ABC 中，AB，A75，B45，则 AC_.23(2014 年湖北)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别6解析：由正弦定理可知：ABsin1807545 ACsin456sin60 ACsin45AC2.为 a，b，c.已知 A6，a1，b 3，则 B_.解析：由正弦定理，知 1sin63sinB，sinB 32.又 0B，所以 B3或23.3或234(2013 年上海)已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 a2abb2c20，则 C_.解析：a2abb2c20，a2b2c
5、2ab，cosCa2b2c22abab2ab 12，即 C23.23考点 1 正弦定理 例 1：(1)(2015 年福建)若ABC 中，AC，A45，C75，则 BC_.3解析：由题意，得 B180AC60.由正弦定理，得 ACsinB BCsinA，则 BCACsinAsinB.所以 BC3 2232 2.答案：2答案：1(2)(2015 年广东)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a 3，sinB12，C6，则 b_.解析：因为 sinB12且 B(0，)，所以 B6或 B56.又C6，所以 B6，ABC23.又 a 3，由正弦定理，得 asinA bsinB，即3
6、sin23 bsin6.解得 b1.答案：B【规律方法】正弦定理可解决两类问题：已知两角及任 一边，求其他边或角；已知两边及一边对角，求其他边或角.(3)(2013 年新课标)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b2，B6，C4，则ABC 的面积为()A2 32 B 31C2 32 D 31解析：bsinB csinC212 c22c2 2，SABC12bcsinA1222 2sin1052 2 6 2431.考点 2 余弦定理 例 2：(1)(2014 年新课标)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC 等于()A5 B 5 C2 D1解析：S12A
7、BBCsinB121 2sinB12，sinB 22.B4或34.当 B34 时，答案：B根据余弦定理有 AC2AB2BC22ABBCcosB1225.AC 5，此时ABC 为钝角三角形，符合题意；当 B4时，根据余弦定理有 AC2AB2BC22ABBCcosB1221.AC1，此时 AB2AC2BC2，ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC 5.(2)(2014 年北京)在ABC 中，a1，b2，cosC14，则 c_；sinA_.解析：由余弦定理，得 c2a2b22abcosC1414，c2；因为 cosA44122278，所以 sinA1cos2A17821564 158.答案：2 1
8、58，且 AB5，(3)(2015 年福建)若锐角ABC 的面积为AC8，则 BC 等于_答案：7【规律方法】在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：已知两边及夹角或两边及一边对角，求其他边或角；已知三边，求三个角.10 3解析：因为ABC 的面积为12ABACsinA20sinA10 3，所以 sinA 32.因为 A0，2，所以 A3.由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosA49，BC7.【互动探究】1(2014 年福建)在ABC 中，A60，AC2，BC，则 AB_.1解析：由余弦定理，得()2AB2222AB2cos60.解得 AB1.33考点 3 正弦定理与余弦定理的综合应
9、用例 3：(2011 年大纲)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 asinAcsinCasinCbsinB.(1)求 B；(2)若 A75，b2，求 a，c.2解析：(1)由正弦定理，得 a2c2 2acb2.由余弦定理，得 b2a2c22accosB.故 cosB 22，因此 B45.(2)sinAsin(3045)sin30cos45cos30sin45 2 64.故 absinAsinB 2 621 3，cbsinCsinB2sin60sin45 6.【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高考题中的一种重要题型，解决这类题，首先要保证边和角的统一，用正弦定
10、理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为：先利用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为只含有角的关系；再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公式将三角函数化简及求值.【互动探究】2(2014 年浙江)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分(1)求角 C 的大小；(2)已知 b4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值别为 a，b，c，已知 4sin2AB24sinAsinB2 2.解：(1)由已知，得 21cos(AB)4sinAsinB2 2.化简，得2cosAcosB2sinAsinB 2.故 cos(AB)22.AB34.又 ABC，所以 C4.(2)SABC12absin
11、C12a4 22 6，a3 2.由余弦定理，得 c2a2b22abcosC18162 3 24 22 10.c 10.即 AB 或 AB.思想与方法转化与化归思想在解三角形中的应用例题：(1)在ABC 中，acosAbcosB，则这个三角形的形状为_解析：方法一，由正弦定理，得 sinAcosAsinBcosB，即 sin2Asin2B.所以 2A2B 或 2A2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形2b方法二，acosAbcosB，ab2c2a22bca2c2b22ac，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，整理化简，得(a2b2)(a2b2c2)0，即 ab 或 a2b2c2.所以
12、这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形a(2)在ABC 中，acosB bcosA，则这个三角形的形状为_解析：方法一，由正弦定理，得 sinAcosBsinBcosA，即 sin(AB)0.所以 AB.所以这个三角形为等腰三角形方法二，bb2c2a22bca2c2b22ac，整理化简，得 a2b20.所以这个三角形为等腰三角形答案：等腰三角形a2c2b22a2aasinA，sinA1，即 A.(3)(2013 年陕西)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为()A直角三角形C钝角三角形B锐角三角形D
13、不确定解析：方法一，bcosCccosBba2b2c22abc2ac 2aABC 为直角三角形故选 A.2sinA1，即A .ABC为直角三角形故选A.方法二，由 bcosCccosBasinA，得sinBcosCsinCcosBsinAsinA.sin(BC)sinAsinAsinA.答案：A【规律方法】已知条件 bcosCccosBasinA 中既有边，又有角，解决此问题的一般思路有两种：利用余弦定理将所有的角转换成边后求解如方法一；利用正弦定理将所有的 边转换成角后求解如方法二.21解三角形时，首先要保证边和角的统一，用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.2在三角形中，若“角角定角”，不定的角将受到双重限制3三角形中任意一边的长，受到三重限制，当已知三边大小的关系时，如：abc，则只要 bca 即可4已知三角形的两边和其中一边的对角，在利用正弦定理解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类题型也可利用余弦定理求解)
