1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知曲线C:mx2+y2=1,则“曲线C是双曲线”是“m0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“mx2+y2=1是双曲线”充分必要条件为m10,即m0,2m+10且2m+13m,得0m1,故选B.答案:B4.已知一个动圆P与圆O:x2+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,则动圆圆心P的轨迹是()A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆解析:设动圆半径为R,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2
2、,而|OC|=3,由双曲线定义知点P的轨迹为双曲线的右支.答案:A5.(2016四川眉山检测)与曲线x224+y249=1共焦点,且与曲线x236-y264=1共渐近线的双曲线方程为()A.y216-x29=1B.x216-y29=1C.y29-x216=1D.x29-y216=1解析:由题意得,曲线x224+y249=1是焦点在y轴上的椭圆,且c=a2-b2=49-24=5,所以双曲线焦点的坐标是(0,5),(0,-5),因为双曲线与曲线x236-y264=1共渐近线,所以设双曲线方程为x236-y264=(b0)上任意一点到直线l1:x=-a2c和l2:x=a2c的距离分别为d1和d2,椭
3、圆的焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A.1B.12C.22D.2解析:由已知,得d1+d2=a2c-a2c=2a2c.由d1,2c,d2成等差数列,得d1+d2=4c,2a2c=4c,得a=2c,离心率e=ca=22,故选C.答案:C7.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1x2=()A.-2B.-12C.-4D.-116解析:由y=2x2,得x2=12y,其焦点坐标为F0,18.取直线y=18,则其与抛物线y=2x2交于-14,18,14,18两点,所以x1x2=-116.故选D.答案:D8.设A,P是椭圆x22
4、+y2=1上的两点,点A关于x轴的对称点为点B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点M,点N,则OMON的值等于()A.0B.1C.2D.2解析:不妨设点P是椭圆的右顶点,即P(2,0),因为A,B两点关于x轴对称,所以直线AP,BP与x轴的交点都是点P,即M,N,P三点重合,则OMON=(2,0)(2,0)=2.答案:D9.(2016吉林长春高二检测)已知直线3x-y+6=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.x240+y24=1B.x25+y2=1C.x
5、210+y2=1D.x210+y24=1解析:直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F1(-2,0),N(0,6),于是c=2,又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|=22+62=210,于是a=10,从而b2=10-4=6,故椭圆方程为x210+y24=1.答案:D10.已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cosAPB的值为()A.12B.13C.-12D.-13解析:由题可知,抛物线的焦点F(1,0),由于过抛物线y2=4x上一点P的直线与抛物线的准线x
6、=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以点P的坐标为(2,22),点B的坐标为(-1,22),可得|AB|=26,由余弦定理得cosAPB=|PB|2+|PA|2-|AB|22|PB|PA|=32+32-(26)2233=-13.答案:D11.过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线的斜率等于()A.-2B.12C.-12D.2解析:设所求直线的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设直线与椭圆的交点为
7、A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,于是x1+x2=8(2k2-k)4k2+1.又M为AB的中点,所以x1+x22=4(2k2-k)4k2+1=2,解得k=-12.答案:C12.(2016福建厦门高二检测)设A1,A2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1kMA22,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,+)D.(1,2)解析:假设M(x,y),A1(-a,0),A2(a,0),则kMA1=yx+a,kMA2=yx-a,则kMA1kMA2=y2x2-a2,又点M在双曲线
8、上,有x2a2-y2b2=1y2=b2x2a2-1,代入kMA1kMA2=y2x2-a2中可得b2x2-a2b2a2(x2-a2)=b2a22c2-a2a2=e2-121e0,b0)截抛物线y2=8x的准线所得线段的长度为2b,则a等于.解析:抛物线y2=8x的准线为x=-2,代入双曲线x2a2-y2b2=1可得y=b4a2-1,由题意可得,2b=2b4a2-1,解得a=2.答案:214.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为2,椭圆C:x2a2+y23=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过点F的直线l与圆M相切,则a的值等于.解析:圆M的方程可化为(x+m)2+y2=
9、3+m2,由题意得m2+3=4,即m2=1(m0)的离心率为2,则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为.解析:因为双曲线的离心率是2,所以e2=c2a2=2+b2=4,得b=6,则双曲线方程为y22-x26=1,渐近线方程为y=33x,即x3y=0,则C上任意一点P(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2=|x+3y|2|x-3y|2=|x2-3y2|4=64=32.答案:3216.导学号59254035(2016四川成都高二检测)已知P为抛物线y=14x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是.解析:抛物线方程可化为x2=4y,焦点为F(0
10、,1),准线为l:y=-1.延长PM交准线于N,连接PF,由抛物线定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,由于PAF中,|PA|+|PF|AF|,所以当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.又因为|AF|=22+12=5,故|PA|+|PM|的最小值为5-1.答案:5-1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2016福建福州一中模考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,7)在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程;(2)记O为坐标原点,过
11、点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F,若OEF的面积为22,求直线l的方程.解:(1)由已知c=2及点P(3,7)在双曲线C上,得a2+b2=4,32a2-(7)2b2=1,解得a2=2,b2=2,双曲线C的方程为x22-y22=1.(2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,由y=kx+2,x22-y22=1,得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个不等实根,1-k20且=16k2+24(1-k2)0,即k20),则p2=2,所以轨迹M的方程为y2=8x.(2)轨迹M的焦点(2,0),
12、直线l的斜率k=tan 135=-1,于是其方程为y=-(x-2).由y=-(x-2),y2=8x,消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,于是|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.(本小题满分12分)(2016河北石家庄高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=x+2与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,求AOB的面积.解:(1)由题意可得:ca=63,a=3,a2=b2+c2,联立解得c=2,b=1.所以椭圆C的方程为x23+y2=
13、1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立y=x+2,x23+y2=1,化为4x2-62x+3=0,因此x1+x2=322,x1x2=34.所以|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=2924-434=3.原点O到直线AB的距离d=22=1,故SAOB=12d|AB|=1213=32.20.导学号59254036(本小题满分12分)(2016浙江宁波高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,|AB|=5,若OA+OB=mOD,且点D在抛物线上,求实
14、数m的值.解:(1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为x214-y234=1,因此c2=14+34=1,c=1,因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(1,0).则p2=1,2p=4,故抛物线标准方程为y2=4x.(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,可得y2-4ky-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,x1+x2=4k2+2.因为|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=4k2+4=5,所以k2=4,即k=2.设D(x0,y0),则由OA+OB=mOD
15、,得x0=1m(x1+x2)=4+2k2mk2=3m,y0=1m(y1+y2)=2m,由于点D在抛物线上,因此4m2=12m,可得m=13.21.(本小题满分12分)已知直线l:ax-y-1=0与双曲线C:x2-2y2=1相交于P,Q两点.(1)当实数a为何值时,|PQ|=21+a2;(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)设P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则(x1,y1),(x2,y2)是方程组ax-y-1=0,x2-2y2-1=0的实数解,消去y,得(1-2a2)x2+4ax-3=0.当1-2a2=0时,直
16、线与双曲线只有一个交点,不合题意.当1-2a20时,即a22时,由0,得-62ab0)过点A(2,0),离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点,直线AE,AF分别交直线x=3于M,N两点,线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k,求证:kk为定值.解:(1)由题意得,a2=b2+c2,ca=32,a=2,解之得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=k(x-1).代入椭圆方程x24+y2=1,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,设E(x1,y1),F(x2,y2),则由韦达定理得:x1+x2=8k24k2+1,x1x2=4k2-44k2+1,直线AE,AF的方程分别为y=y1x1-2(x-2),y=y2x2-2(x-2),令x=3,得M3,y1x1-2,N3,y2x2-2,所以P3,12y1x1-2+y2x2-2,kk=k12y1x1-2+y2x2-2-03-1=k4k(x1-1)(x2-2)+k(x2-1)(x1-2)(x1-2)(x2-2)=k242x1x2-3(x1+x2)+4x1x2-2(x1+x2)+4=k248k2-8-24k2+16k2+44k2+14k2-4-16k2+16k2+44k2+1=k24-44k2=-14.
