1、章末整合提升网络构建理脉落知识整合悟素养1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0
2、或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan.(2)焦点三角形的周长L2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)
3、，即yx.(2)如果双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0)4共轭双曲线(1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线(2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距(3)与1具有相同渐近线的双曲线系方程为k(k0)5抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2ax(a0)或x2ay(a0)6抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p0)中，|AB|x1x2p(2)y22px(p0)中，|AB|x1x2p.(3)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.(4)x22py(p0)中，|AB|y1y2p.7注意问题(1)椭圆的定义|PF
4、1|PF2|2a中，应用2a|F1F2|，双曲线定义|PF1|PF2|2a中，应有2a0，b0)的渐近线方程为yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.(7)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行专题突破启智能专题 圆锥曲线定义的应用椭圆、双曲线、抛物线是三种重要的圆锥曲线，其上动点M分别满足以下条件：(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，其中F1、F2为定点；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(02a0，b0)的左、右焦点，A1、A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任一点，求
5、证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切思路分析(2)设N、M分别是PF1、PF2的中点，只要证明|OM|a|PF2|，并且|ON|PF1|a.因为点P在双曲线的右支上，F1、F2是双曲线的两个焦点，具备了运用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径解析(1)如图，左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2.在FFP中，OMPF，所以|PF|4.根据椭圆的定义，得|PF|PF|6，所以|PF|2.又因为|FF|4，所以在RtMFF中，tanPFF，即直线PF的斜率是.(2)如图易知
6、以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M、N分别是PF2、PF1的中点，由三角形中位线的性质得，|OM|PF1|，又根据双曲线的定义得，|PF1|2a|PF2|，从而有|OM|(2a|PF2|)a|PF2|.两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切同理，运用双曲线的定义得，|ON|PF2|(|PF1|2a)|PF1|a.两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切专题圆锥曲线的标准方程高考往往在选择题或填空题中结合圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线方程，在解答题中根据给出的条件建立圆锥曲线的方程，圆锥曲线的标准方程是高考中解析
7、几何的必考内容典例2(1)焦点为(0，3)，且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是(B)A1B1C1D1(2)若抛物线y22px(p0)的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的标准方程为y28x_.思路分析(1)先由双曲线y21求出渐近线方程，再由c3得出所求双曲线方程(2)先求出椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，即得所求解析(1)双曲线y21中，a22，b21，所以渐近线方程为yx，所以所求双曲线的方程中，c3，a2b2c2，所以a23，b26，则双曲线方程为1，故选B(2)因为c2954，所以c2，椭圆1的右焦点为(2,0)，所以2，得p4，故抛物线的标准方程为y28
8、x.规律总结(1)在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何条件或者代数条件，列出方程或者方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)(2)当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法)专题圆锥曲线的几何性质1圆锥曲线的主要性质有：范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆还包括长短轴，双曲线还包括实虚轴，渐近线，抛物线还包括准线2求离心率的主要方法有：(1)定义法：利用平方关系以及e，知道a，b，c中任意两个求e；(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，求离心率e；(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离
9、心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观典例3(1)若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为(A)AyxBy2xCy4xDyx(2)(2017天津理，5)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(B)A1B1C1D1思路分析由离心率为得，则F，P两点写出直线PF的两点式方程，结合直线平行的性质可得a，b，c间的关系式，又双曲线中a2b2c2，联立三式可解解析(1)由椭圆的离心率e，可知，故双曲线的渐近线方程
10、为yx，选A(2)由题意可得，即ca.又左焦点F(c,0)，P(0,4)则直线PF的方程为，化简即得yx4.结合已知条件和图形易知直线PF与yx平行，则，即4abc.故解得故双曲线方程为1.故选B专题直线与圆锥曲线的关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考考查的重点内容典例4已知椭圆C：1(ab0)经过点(1，)，且两焦点与短轴的一个
11、端点构成等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由思路分析(1)由条件建立关于a，b的方程求解(2)设出MN的方程ykxm，与椭圆方程联立，找出M，N坐标间的关系，再由kMAkNA，求出k与m的关系，从而判断直线MN是否过定点解析(1)根据题意得.所以椭圆的方程为y21.(2)当MN的斜率存在时，设MN的方程为ykxm，由得(12k2)x24kmx2m220，则即所以kMAkNA.所以(2k21)x1x2(2km)(x1x2)2m220，即m2km0m0或mk(舍去)所
12、以MN：ykx过定点(0,0)当MN斜率不存在时M，N为短轴两端点，显然也符合题意，所以直线MN恒过定点(0,0)典例5(2017全国理，20)已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，2)，求直线l与圆M的方程思路分析(1)设出A，B两点的坐标及直线l的方程，与抛物线方程联立，求出两点横、纵坐标之积，由OA，OB的斜率之积为1，得坐标原点O在圆M上(2)由(1)中结论，利用0，求得直线l的未知系数，再分类求得圆M的方程解析(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可
13、得y22my40，则y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此OA的斜率与OB的斜率之积为1.所以OAOB，故坐标原点O在圆M上(2)由(1)可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故圆心M的坐标为(m22，m)，圆M的半径r.由于圆M过点P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可知y1y24，x1x24，所以2m2m10，解得m1或m.当m1时，直线l的方程为xy20，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为.圆M的方程为(x3)2(y1)210.当m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐
14、标为(，)，圆M的半径为，圆M的方程为22.专题与圆锥曲线有关的最值和范围问题与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法：1结合定义利用图形中几何量之间的大小关系2不等式(组)求解法：根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围3函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围4利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思5构造一个一元二次方程，利用判别式0来求解典例6(2019全国卷文，20)已知F1，F2是椭圆C：1(ab
15、0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解析(1)连接PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在
16、满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)专题轨迹问题求一般的动点的轨迹方程要根据动点满足的条件选择合理的方法(如待定系数法、代入法、参数法等)，在动点满足一个几何表达式时，一般采用直接把动点坐标代入几何表达式，得到关于动点坐标的代数方程，化简整理这个方程的方法求解(直接法)，要注意变换过程的同解性、特殊的点以及动点的变化范围等，使求得的方程恰好是满足几何条件的动点的轨迹方程典例7(20192020学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知在平面直角坐标系中，动点P到定点F(1,0)的距离比到定直线x2的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线l与(1)中轨迹C交于A，B两点，过A和
17、原点O的直线交直线x1于D，求证：直线DB平行于x轴思路分析(1)判断轨迹为抛物线，转化求解抛物线方程即可(2)画出图形，设直线AB的方程为xmy1代入抛物线方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，取得BD的纵坐标，然后推出结果解析(1)动点P到F(1,0)的距离比到定直线x2的距离小1，则与到定直线x1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹为以F(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x(2)证明：设直线AB的方程为xmy1代入，整理得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，所以点B的纵坐标y2因为y4x1，所以直线OA的方程为yxx可得D
18、的纵坐标为yD由知，DBx轴典例8已知向量(2,0)，(0,1)，动点M到定直线y1的距离等于d，并且满足k(d2)，其中O为坐标原点，k为参数(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足e，求实数k的取值范围解析(1)设M(x，y)，则由(2,0)，(0,1)，且O为原点，知A(2,0)、B(2,1)、C(0,1)从而(x，y)，(x2，y)，(x，y1)，(x2，y1)，d|y1|.代入k(d2)，得(1k)x22(k1)xy20为所求的轨迹方程当k1时，得y0，轨迹为一条直线；当k1时，得(x1)21；若k0，则轨迹为圆；若k1，则轨迹为
19、双曲线；若0k1或k0，则轨迹为椭圆(2)e，方程表示椭圆，对于方程(x1)21，当0k1时，a21，b21k，c2a2b21(1k)k，此时e2k.而e，k.当k0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且离心率e2，则双曲线的方程为(D)A1B1Cy21Dx21解析c2，2，a1，b，即双曲线的方程为x21，选D2设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于(C)AB2CD解析双曲线的渐近线方程为yx.渐近线与yx21相切，x2x10有两相等根，40，b24a2，e.3设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x
20、2，则点P(x1，x2)(C)A必在圆x2y22上B必在圆x2y22外C必在圆x2y22内D以上三种情形都有可能解析ec，ba.ax2bxc0ax2ax0x2x0，x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x1x21b0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程解析(1)由已知可得b3.记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以，椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在设直线AB的方程为ykx3.由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为，即.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线AB的方程为yx3或yx3.
