1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像1二次函数图像的变换2参数“a，h，k”对二次函数ya(xh)2k(a0)的图像的影响(1)a的符号和绝对值大小分别决定了二次函数图像的开口方向和大小(2)h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”(3)k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”(1)二次函数的图像名称是什么？提示：二次函数图像的名称是抛物线(2)二次函数解析式有哪些形式？提示：一般式：yax2bxc(a0).顶点式：ya(xh
2、)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标两根式：ya(xx1)(xx2)(a0).(3)抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标是什么？提示：抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标是.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二次函数y3x2的开口比yx2的开口要大()提示：比较二次项系数可知31，因为二次项系数的绝对值越小，开口越大，所以yx2的开口大于y3x2的开口.(2)要得到y(x2)2的图像，需要将yx2的图像向左平移1个单位长度()提示：要得到y(x2)2的图像，需要将yx2的图像向右平移2个单位长度 (3)要得到y2(x1)2的图像，需将y2(x1)21的图像向上平移1个单
3、位长度()提示：根据图像平移规律可知正确2将二次函数y2x28x7化为ya(xm)2n的形式，正确的是()Ay2(x4)27 By2(x2)27Cy2(x2)211 Dy2(x2)215【解析】选D.y2x28x72(x24x)7 2(x24x44)72(x2)215.3(教材练习改编)下列函数中，其图像开口最小的是()Ay3x2 Byx2x1Cyx2x Dy4x21【解析】选D.在二次函数yax2bxc(a0)中，越大，其图像开口越小类型一二次函数的图像及其变换(数学抽象、直观想象)1将抛物线y(x1)22向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的抛物线解析式是()Ay(x4)27
4、By(x4)23Cy(x2)27 Dy(x2)232将二次函数y2x2的顶点移到(3，2)后，得到的函数的解析式为_3在同一坐标系中作出下列函数的图像yx2，yx22，y2x24x，并分析如何把yx2的图像变换成y2x24x的图像【解析】1.选A.y(x1)22，先向右平移3个单位长度得y(x13)22, 即y(x4)22, 再向上平移5个单位长度得y(x4)225, 即y(x4)27.2因为二次函数y2x2的顶点为(0，0)，所以要将其顶点移到(3，2)，只要把图像向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度即可，所以平移后的函数解析式为y2(x3)22.答案：y2(x3)223列表：x321
5、0123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相应函数的图像，如图所示由图像可知由yx2到y2x24x的变化过程为：先把yx2的图像向下平移1个单位长度得到yx21的图像，然后再把yx21的图像向右平移1个单位长度得到y(x1)21的图像，最后把y(x1)21的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图像二次函数图像的作法(1)将函数解析式进行配方，可求得对称轴与顶点坐标(2)列表求出图像上的一系列点，在选取时一般关于对称轴对称选取(3)描点，然后用圆滑曲线连接，即得二次函数图像【补偿训练】画二次函数yx2
6、6x21的图像，并说明它是如何经过yx2平移得到的【解析】因为yx26x21(x6)23，所以抛物线的顶点坐标为(6，3)，对称轴为x6.令x0，求得y21，即它与y轴交点为(0，21)，此交点距顶点太远，画图时用不上令y0，x26x210，因为0，方程无实数解，所以抛物线与x轴没有交点因此，画此函数图像，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可(1)利用二次函数的对称性列表：x45678y53.533.55(2)描点、连线即得函数yx26x21的图像，如图所示把yx2的图像向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可得到yx26x21的图像类型二二次
7、函数图像的识别(直观想象)【典例】如图是二次函数yax2bxc(a0)图像的一部分，图像过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A B C D【思路导引】根据二次函数的图像可以得到图像与x轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，a0，即b24ac，正确对称轴为x1，1，2ab0，错误结合图像，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.又函数图像开口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0，而yax2bxc的图像开口向下，a0，矛盾；B，yaxb中，a0，b0，而yax2bxc的图像的对称轴x0，矛盾；D，yax
8、b中，a0，但yax2bxc的图像开口向上，矛盾；C，yaxb中，a0，b0，且由yax2bxc的图像可知a0，b0，故正确 类型三二次函数的解析式及其应用(数学抽象、逻辑推理)角度1由二次函数解析式求最值【典例】若函数f(2x1)x2x，则f(x)的最小值为_【思路导引】利用换元法得到f(x)的解析式，然后利用配方法得到二次函数的最值【解析】令t2x1，则x，所以f(t)，即f(x)，当x2时，f(x)的最小值为.答案：将本例中条件改为：已知定义在R上的函数f(x)x22ax3在(，1上是减少的，当xa1，1时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为()A B1 C D
9、. 2【解析】选B.因为f(x)在(，1上是减少的，所以a1，即a1.所以f(x)在a1，1上的最大值为f(a1)3a24a4，最小值为f(1)42a，所以g(a)3a22a3，因为g(a)在(，1上减少，所以g(a)的最小值为g(1)1.角度2 求二次函数的解析式【典例】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式【思路导引】(1)首先用待定系数法设出二次函数的解析式，再根据题设条件列出方程组求出待定系数的值(2)由题意分析可设顶点式f(x)a8.(3)由题意可设两点式f(x)1a(x2)(x1).【解析】方法一：设f(x)ax2bxc(a
10、0)，由题意，得解得所以所求的二次函数解析式为f(x)4x24x7.方法二：设f(x)a(xh)2k(a0).因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为直线x.所以h.又函数的最大值为8，所以a0且k8，所以f(x)a8.又f(2)1，所以a81，所以a4.所以f(x)484x24x7.方法三：由已知得f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又f(x)的最大值为8，所以8.解得a4或a0(舍去).所以所求函数的解析式为f(x)4x24x7.求二次函数解析式的方法及其一般步骤(1)方法：待定系数法(2)步骤：(*)的说明：二次函
11、数解析式求解时应根据已知条件的特点，灵活地选用解析式形式：当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值时，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k(其顶点是(h，k)，a0).当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)时，则设所求二次函数为两点式ya(xx1)(xx2)(a0).1二次函数f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)且最大值是5，则该函数的解析式是()Af(x)2x28x11Bf(x)2x28x1Cf(x)2x24x3Df(
12、x)2x24x3【解析】选D.二次函数f(x)的图像经过两点(0，3)，(2，3)，则对称轴为x1，因为最大值是5，所以可设f(x)a(x1)25(a0)，所以3a5，解得a2，故f(x)2(x1)25，即f(x)2x24x3.2若二次函数yax2bxc(a0)的图像经过点(1，0)，(3，0)和(0，2)，则此二次函数的解析式为_.【解析】因为二次函数yax2bxc(a0)的图像经过点(1，0)，(3，0)和(0，2)，所以解得故该二次函数的解析式为yx2x2.答案：yx2x23已知一元二次函数y4x24axa22a2.(1)写出该函数的顶点坐标；(2)如果该函数在区间0，2上的最小值为3，
13、求实数a的值【解析】(1)由y4x24axa22a242a2，所以抛物线的顶点坐标为.(2)二次函数图象开口向上，对称轴为x，在区间0，2上的最小值，分情况：当0，即a0时，x0时函数取得最小值，即a22a23，解得a1，又a2，即a4时，x2时函数取得最小值，即168aa22a23，解得a5，又a4，所以a5.综上，a1或a5.【补偿训练】已知二次函数yf(x)的图像如图所示，则此函数的解析式为_【解析】设ya(x2)(x2)(a0的解集为，则函数yax2xc的图像大致为()【思路导引】利用根与系数的关系x1x2，x1x2结合二次函数的图像得结果【解析】选A.由题意知2和1是方程ax2xc0
14、的两根，由根与系数的关系知(2)1，(2)1，解得a1，c2，所以函数解析式为yx2x2，即y(x2)(x1)，故其图像为A.已知不等式解集判断二次函数图像的步骤(1)因为不等式的解集的端点值即为对应方程的根，所以可以据此求出参数的值(2)通过参数的值可以求出二次函数解析式，进而确定函数图像不等式f(x)ax2xc0的解集为，则函数yf(x)的图像大致为()【解析】选B.由不等式的解集可知1和2是方程ax2xc0的两根，由根与系数的关系知(2)1，(2)1，解得a1，c2，故f(x)x2x2，所以f(x)x2x2，即f(x)(x2)(x1)，故其图像为B.1顶点在(2，3)的抛物线方程为()A
15、yx24x1 Byx24x1Cyx24x3 Dyx24x3【解析】选A.yx24x1(x2)23，顶点坐标为(2，3)；yx24x1(x2)23，顶点坐标为(2，3)；yx24x3(x2)27，顶点坐标为(2，7)；yx24x3(x2)21，顶点坐标为(2，1).2若函数y(3t)xt23t2tx1是关于x的二次函数，则t的值为()A3 B0 C0或3 D1或2【解析】选B.由题意可得解得所以t0.3函数y2x(3x)的图像可能是()【解析】选B.由2x(3x)0，得x0或x3，可知图像与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，排除A，C.又y2x(3x)2x26x，所以图像开口向下，故排除D.4(教材习题改编)将抛物线yx21先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为_【解析】因为二次函数的解析式为yx21，顶点坐标为(0，1)，向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的点是(2，2)，可设新函数解析式为y(xh)2k，代入顶点坐标得y(x2)22.答案：y(x2)225已知点(3，1)，(1，3)为二次函数f(x)ax22axb(a0)的图像上的两个点，则f(x)的解析式为_【解析】将(3，1)，(1，3)分别代入f(x)ax22axb(a0)中，有解得所以f(x)x2x.答案：f(x)x2x关闭Word文档返回原板块
