1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修1-1 1-2 第二章 推理与证明成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2推理与证明 第二章 第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 2.2 直接证明与间接证明第1课时 综合法与分析法第二章 第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课前自主预习第二章 2.2 第1课时成
2、才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 夏天，在日本东京的新宿区的一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间大约是下午 4 时左右警方经过三天的深入调查后，终于拘捕到一个与案件有关的疑犯，但是他向警方作出不在现场证明时，他说：“警察先生，事发当天，我一个人在箱根游玩，直至下午 4 时左右，我到芦之湖划船当时适值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，横挂着一条美丽的彩虹，所以凶手是别人，不是我！”你知道嫌犯的话露出了什么破绽吗？警方是怎样证明他在说谎的呢？第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 设、(0，2)，且 tan12，
3、tan15，tan18，求证4.答案：因为、(0，2)，且 tan121，tan151，tan181，所以 04，04，04，所以 00，ex1,01ex0，第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 即f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数他使用的证明方法是()A综合法B分析法C反证法D以上都不是答案 A解析 该证明方法符合综合法的定义，应选A.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 二 分析法1定义分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的
4、事实2分析法的推证过程用 P 表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所需证明的结论，则分析法的推证过程可表示为：QP1 P1P2 P2P3 P第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 3分析法的特点“执果索因”，即从未知看需知，逐步向已知靠扰其优点为方向较为明确，便于寻找解题思路4分析法的证明格式要证只需证只需证只需证因为成立，所以成立第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 5综合法与分析法的比较综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法从待证的结论出发，
5、一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实证明步骤P1(已知)P1P2 P3P(结论)B(结论)B1B2BnA优点条理清晰，易于表达容易探路，且探路与表述合一缺点探路艰难，易生枝节表述烦琐，容易出错第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 若 P a a7，Q a3 a4(a0)，则 P、Q 的大小关系是()APQBPQCPQD由 a 的取值确定答案 C解析 要证 PQ，只需证 P2Q2，只需证 2a72 aa72a72 a3a4，只需证 a27aa27a12，只需证 012.012 显然成立，Pbbbbc ac.加
6、法性质：abcR acbc.abcd acbd.乘法性质：abc0 acbc.ab0cd0 acbd.ab0nN anbn.开方性质：ab0nN n an b.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知 a、b、c 是正数，且 abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明 因为 a、b、cR，且 abc1，所以1a1abca1baca2 bca，1b1abcb1abcb2 acb，1c1abcc1acbc2 abc.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 所以(1a1)(1b1)
7、(1c1)8 bca acb abc 8，故(1a1)(1b1)(1c1)8(当且仅当 abc 时取等号)第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 四 综合法和分析法的综合应用分析法和综合法是对立统一的两种方法一个命题用何种方法证明，要能针对具体问题进行分析，灵活地运用各种证法当不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的方法一般来说，对于较复杂的证明，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，或者在证题过程中综合法与分析法并
8、用，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头挤法”分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 已知 a、b、c 表示ABC 的三边长，m0，求证：aambbmccm.证明 要证明aambbmccm，只需证明aambbmccm0 即可，所以aambbmccm第二章 2.2 第
9、1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 abmcmbamcmcambmambmcm.因为 a0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因为 a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 因为ABC 中任意两边之和大于第三边，所以 abc0，所以(abc)m20，所以 2abmabc(abc)m20，所以aambbmcc
10、m.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课堂典例探究第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 综合法及其应用已知 a，b，c 是互不相等的正数，且 abc1，求证 a b c1a1b1c.解题提示 在用综合法证明不等式的过程中，注意等量代换、均值不等式及不等式性质的运用第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析 因为 abc1，所以 a1bc，b1ac，c1ab，所以 a b c1bc1ac1ab.因为 a、b、c 是互不相等的正数，所
11、以1bc1b1c2，1ac1a1c2，1ab1a1b2，第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 所以1bc1ac1ab1b1c1a1c1a1b21a1b1c，即 a bc0，5 12 30，25 310，所以要证5 12 35 12 3 25 31.只要证(5 12 35 12 3)2(25 31)2，第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 左边 5 12 3 5 12 325 12 35 12 32 52 42 32(5 31)右边，所以原等式成立方法总结 在用分析法的证明中，从结论出发的
12、每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归纳到已经被证明了的事实，因此从最后一步可以倒推回去，得到结论第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 设a、bR，且ab.求证：a3b3a2bab2.证明 要证 a3b3a2bab2 成立，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因 ab0，只需证 a2abb2ab 成立，只需证 a22abb20 成立，即需证(ab)20 成立而依题设 ab，则(ab)20 显然成立由此命题得证.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 综合法与
13、分析法的综合应用已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0 x1.求证：logxab2 log2bc2 log2ac2 logxalogxblogxc.解题提示 直接用综合法证明不好找切入点，可先用分析法找出命题成立的条件，再用综合法证明第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 解析 要证明logxab2 logxbc2 logxac2 logxalogxblogxc，只需证明 logx(ab2 bc2 ac2)logx(abc)0 xabc.由公式知ab2 ab0，bc2 bc0，ac2 ac0.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程
14、学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 a，b，c 不全相等，上面三式相乘，得ab2 bc2 ac2 a2b2c2abc，即ab2 bc2 ac2 abc 成立，logxab2 logxbc2 logxac2 0，b0 且 ab1.求证：(a1a)(b1b)254.证明 欲证(a1a)(b1b)254.因为(a1a)(b1b)a21ab21ba2b2a2b21ab，所以只需证明 4(ab)24(a2b2)25ab40，第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 即证明 4(ab)24(ab)22ab25ab40，即 4(ab)233ab80
15、，即证 ab14或 ab8.因为 a0，b0，ab1，所以 ab8 不可能成立，而 1ab2 ab，所以 ab14.所以原不等式成立.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 是否存在实数 m，使不等式|xm|1 在(13，12)上恒成立？若存在，求出所有的 m 的值；若不存在，请说明理由误解|xm|11xm1m1xm113x12，所以m113，m112，此方程组无解故符合题意的 m 值不存在第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 辨析 13x12是不等式|xm|1 成立的充要条件，上述解法中，错把它当成充要条件了正解|xm|11xm1m1xm113x12，得m113，m112，解得12m43，故当12m43时，不等式|xm|1 在(13，12)上恒成立.第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 直接证明综合法了解定义基本思路推证过程分析法了解定义基本思路推证过程第二章 2.2 第1课时成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修1-1 1-2 课 时 作 业（点此链接）
