1、数学模拟试题二第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可解出M，然后进行交集的运算即可【详解】解：Mx|2x2，N0，1，2；MN0，1故选D【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，计算得到复数对应的点，则答案可求【详解】，.在复平面内对应的点
2、为，在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于简单题.3.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）20132018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加20132018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小20162018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据折线图
3、，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故正确；根据图像在20162018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故正确；故选：A【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题.4.平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）A. B. C. 19D. 【答案】B【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由函数为奇函数，
4、图象关于原点对称，排除B项；又因为，排除C项；又因为，排除D项，即可得到答案.【详解】由题意知，函数，满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；又因为，所以C选项错误；又因为，所以D选项错误，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及准确运算特殊点的函数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义先求出，由二倍角的公式可求出的值【详解】解：角的终边经过点，由任意角的三角函数的定义得：，故有.故选：C【点睛】本题考
5、查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，考查计算能力7.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以 ，所以双曲线的离心率为故选A【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，8.已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
6、】设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程.【详解】设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为（ ）A. 2B. 0C. 1D. 【答案】BCD【解析】【分析】作出的图像，利用数形结合可判断满足恰有一个公共点；当时，需直线与曲线相切即可.【详解】由与恒过，如图，当时，两函数图
7、象恰有一个公共点，当时，函数与的图象恰有一个公共点，则为的切线，且切点为，由，所以，综上所述，或.故选：BCD【点睛】本题考查了指数函数图像、导数的几何意义，考查了数形结合在解题中的应用，属于基础题.10.设正项等差数列满足，则（ ）A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的最大值为D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.【详解】因为正项等差数列满足，所以，即.，当且仅当时成立，故A选项正确.由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.，当且仅当时成立，所以的最小值为，故C选项错误.结合的结论，有，当且仅当时成立，故D选项
8、正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.11.过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）A. 抛物线的焦点坐标为B. C. 为抛物线上的动点，则D. 【答案】ABD【解析】【分析】A，由抛物线方程可得焦点坐标；B，由题意可得直线PQ的方程与抛物线联立求出P，Q的坐标，进而可得PQ的长度；C，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离距离可得|MF|+|MN|的最小值；D，由题意可得A，B的坐标，进而求出AB的值；然后判断所给命题的真假【详解】A，由题意可得抛物线的焦点F（
9、2，0），所以A正确；B，由题意设直线PQ的方程为：y（x2），与抛物线联立整理可得：3x220x+120，解得：x或6，代入直线PQ方程可得y分别为：，4，由题意可得P（6，4），Q（，）；所以|PQ|64，所以B正确；C，如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|ME|，所以|MF|+|MN|ME|+|MN|NE2+24，当N，M，E三点共线时，|MF|+|MN|最小，且最小值为4，所以C不正确；D，因为P（6，4），Q（，），所以PF，QF的中点分别为：（3，2），（，），所以由题意可得A（0，2），B（0，），所以|AB|2，所以D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查抛物线
10、的性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题12.在边长为2的等边三角形中，点分别是边上的点，满足 且，（），将沿直线折到的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A. 在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B. 存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C. 若，当二面角为直二面角时，D. 在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，即可判断出结论.对于B，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，即可判断出结论
11、.对于C，当二面角为直二面角时，取ED的中点M，可得平面.可得，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，如图所示，则可得平行且等于，即四边形为平行四边形，而始终与平面相交，因此在边上不存在点F，使得在翻折过程中，满足平面，A不正确.对于B，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，因此不满足平面平面，因此B不正确.对于C.，当二面角为直二面角时，取的中点M，如图所示：可得平面，则，因此C不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED平面BCDE，四棱锥体积
12、，可得时，函数取得最大值，因此D正确.综上所述，不成立的为ABC.故选：ABC.【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线是曲线的切线，且，则实数b的最小值是_.【答案】【解析】【分析】求出的导数，设切线为，由切点处的导数值为切线斜率求出，再由切点坐标可把表示为的函数，再利用导数可求得的最小值【详解】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，又，（），当时，函数b递
13、增，当时，函数b递减，为极小值点，也为最小值点，b的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值在求切线方程时要注意“在”某点处的切线与“过”某点的切线如果是过某点的切线可设切点坐标为，利用导数几何意义求出切点坐标14.已知函数（）的最大值为，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过换元法将的最值问题转化为的最值，利用二次函数的性质列不等式求解即可【详解】解：由已知令，则，因为，则在区间的右端点取最大值，故，则故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值问题，通过换元法可将问题简单化，是一道基础题15.点是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物
14、线的准线的距离为，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】过作准线的垂线，垂足分别为，则，在中寻找它们的关系，求出比值的最大值。【详解】如图，过作准线的垂线，垂足分别为，则，中，当且仅当时取等号。，即的最大值为。故答案为：。【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。16.在四棱锥中，平面，点是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为.记点的轨迹长度为，则_；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表
15、面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先根据已知条件判断出点的轨迹为圆弧，再求此时的，即可求出；判断三棱锥的体积最小时即点位于时，此时三棱锥的外接球球心为的中点，所以半径为的一半，从而可得外接球的表面积.【详解】如图，因为平面，垂足为，则为直线与平面所成的角，所以.因为，所以，所以点位于底面矩形内的以点为圆心，为半径的圆上，记点的轨迹为圆弧.连接，则.因为，所以，则弧的长度，所以.当点位于时，三棱锥的体积最小，又，三棱锥的外接球球心为的中点.因为，所以三棱锥的外接球的表面积.故答案为：；【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较
16、难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知递增等差数列满足，数列满足.（1）求的前n项和；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列公式计算得到，得到答案.（2）化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】（1）设数列公差为，由，解得：（舍去），所以，.（2），.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，等比数列求和，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法综合应用.18.已知在中，且.（1）判断的形状；（2）若D为BC的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，求证：.【答案】（1）等腰直角三角形；（2）证
17、明见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理得，进而可得的形状；（2）以B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算得出，可得相等.【详解】解：（1）由正弦定理得：，其中R为外接圆的半径.，且， ， ，为等腰直角三角形； (2)以B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系.设A（0，2），C（2，0），则D（1，0），.设，则，又因为，所以，所以，解得，所以，所以，又因为，所以，又因为，且，所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查向量坐标运算研究三角形中的角，是中档题.19.如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，是等边三角形，点在
18、上，且（1）证明：/平面（2）若平面平面，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，通过证明/，即可推证线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得对应平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值即可.详解】（1）连接交于点，连接在等腰梯形中，/，/，又平面，平面，/平面（2）取的中点，的中点，连接，显然又平面平面，平面平面，所以平面因为、分別为、的中点，且在等腰梯形中，所以以为原点建立如所示的空间直角坐标系，设，则，易得为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，可得，故，令，可得，则设二面角的平面角为，则，即二面角的余弦值为【点睛】本题考
19、查由线线平行推证线面平行，利用向量法求二面角的大小，属综合中档题.20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，、为椭圆的左、右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.（1）求椭圆的方程；（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆短轴顶点求得；结合，求得点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，结合，求得，则椭圆方程即可求解；（2）根据直线斜率是否存在，进行分类讨论；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，求得弦长，求得到直线的距离，即可求得到直线的距
20、离，利用面积公式，结合均值不等式，即可容易求得面积的最值.【详解】（1）设椭圆的方程为，右焦点，因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，故可得，设点坐标为，即，解得.则点.因为点在椭圆上，则，即.又，则，得，所以椭圆的标准方程是.（2）当直线斜率不存在时，不妨取，故；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程，化简得，则，点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，又，所以等号不成立.，综上可得，面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中面积的范围问题，属综合中档题.21.2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生
21、态环境的持续改善某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；（3）某汽车销
22、售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格第50格遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束设遥控车移到第n格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车参考数据：若随机变量服从正态分布，则，【答案
23、】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出（2）由利用正态分布的对称性可得（3）遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为可得：，即可得证数列是等比数列，并计算获胜与失败的概率.【详解】（1）（千米）（2）由（3）遥控车开始在第0格为必然事件，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为，即遥控车移到第格的情况是下面两种，而且只有两种：遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为时，数列是等比数列，首项为，公比为的等比数列，获
24、胜的概率，失败的概率获胜的概率大此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车【点睛】此题考查统计与概率相关知识，根据频率分布直方图求解平均数，利用正态分布求解概率，利用递推数列关系建立等式解决概率相关问题，综合性强.22.已知函数，（1）求函数的极值；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围【答案】（1），无极大值；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求得，即可判断为函数的极小值点，问题得解（2）“在上为单调函数”可转化为：恒大于等于0或者恒小于等于0，即可转化为：或在上恒成立，再转化为在恒成立或在恒成立，求得，问题得解（3）构造函数，对的取值分类，当时，可判断恒成立，即不满足题意，当时，利用导数可判断在单调递增，结合，由题意可得：，问题得解【详解】（1）因为.由得:，当时，当时，所以为函数的极小值点 .（2），.因为在上为单调函数，所以或在上恒成立，等价于在恒成立， 又当且仅当时，等号成立 等价于，即在恒成立，而综上，m的取值范围是 （3）构造函数，当时，所以在不存在，使得当时， 因为，所以在恒成立，故在单调递增，所以，又所以只需，解之得，故m的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了导数与函数单调性的关系，考查了构造思想及利用基本不等式求最值，考查了转化思想及计算能力，属于难题
