1、2020年高考模拟高考数学模拟试卷（一）一、选择题1.若集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A、B，再取其交集得出答案.【详解】因为集合解之得所以 所以故选A.【点睛】本题考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法和交集的求法，属于基础题.2.已知、，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，取，则成立，但，A选项错误；对于B选项，取，则成立，但，即，B选项错误；对于C选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C选项正确；对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C
2、.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.3.已知直线与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先得出圆的圆心和半径，然后由圆心到直线的距离大于半径建立不等式求解.【详解】圆即为所以圆心为，半径为因为直线与圆没有公共点，所以直线与圆相离所以，解得实数a的取值范围为故选：C【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，当直线与圆相离时有，当直线与圆相切时有，当直线与圆相交时有.4.设 是单位向量，是非零向量，则“ ”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充
3、分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量的数量积运算可得，即可得到答案.【详解】因为 是单位向量，是非零向量，则故“ ”是“”的充分必要条件.【点睛】本题考查了向量的数量积运算和充分必要条件，难度不大.5.设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A中，若，则或，所以不正确；对于C中，若，则与可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；对于B
4、中，若，根据线面垂直的性质，可证得成立，故选：B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示，如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（ ）A. B. C. 6D. 【答案】C【解析】根据题意，得该几何体是如图所示的三棱锥，且该三棱锥是放在棱长为的正方体中，所以，在三棱锥中，最长的棱长为，且，故选C. 7.数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别运用
5、等差，等比数列的中项性质即可得解【详解】因为数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比 所以 又因为公比，所以故选C【点睛】本题考查了数列的中项性质运用和基本不等式，属于小综合知识考查，属于较为基础提.8.A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：A品牌车型A1A2A3环比增长率-7.29%10.47%14.70%B品牌车型B1B2B3环比增长率-8.49%-28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:A1车型销量比B1车型销量多；A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；B品牌三款车型总销量环比增长率可
6、能为正；A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率其中正确结论的个数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：对于，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，错误；对于，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，错误；对于，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%，所以它的总销量环比增长率也可能为正，正确；对于，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比
7、增长率，正确；综上所述，其中正确的结论序号是故选B【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题9.设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先由在区间上单调得，然后由可得为的一条对称轴，为的一个对称中心，所以，即可求出【详解】函数，若在区间上单调，即，为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为所以与为同一周期里相邻的对称轴和对称中心所以，解得，故选：D【点睛】本题考查的是三角函数的性质，属于中档题.10.已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动综合积分高低决定排名具体积分规则如表1所示，
8、某代表队四名男生的模拟成绩如表2表1 田径综合赛项目及积分规则项目积分规则米跑以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分跳高以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分掷实心球以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分表2 某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲乙丙丁根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20
9、=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题（共5小题）11.已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数_.【答案】【解析】【分析】根据题意，先进行化简求出复数z，得出答案.【详解】由题 所以共轭复数：故答案为【点
10、睛】本题考查了复数的运算和一些概念，属于基础题.12.已知点为抛物线的焦点，则点坐标为_；若双曲线（）的一个焦点与点重合，则该双曲线的渐近线方程是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意直接求出点F的坐标，再双曲线（）的一个焦点与点重合，求出a，得出渐近线方程.【详解】因为点为抛物线的焦点，2p=8，p=4 双曲线（）的一个焦点与点重合， 渐近线方程为： 故答案为，【点睛】本题考查了抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，属于基础题.13.已知展开式中的系数为，则实数a的值为_.【答案】-3【解析】【分析】利用二项式定理公式的展开式中的通项,再令7-2r=5，求得r，再代入求解a的值
11、，可得结果.【详解】因为的展开式中的通项 令7-2r=5，可得r=1 故答案为-3【点睛】本题考查了二项式定理，公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.14.已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实数，使，则实数的最大值是_【答案】【解析】【分析】利用任意性和存在性原命题可转化为有且仅有一个解，然后根据性质和图像求解即可.【详解】因为，且可得 因为存在唯一的实数，使，即有且仅有一个解，做图像如下：当两个图像只有一个交点时，由图知，可得 故最大值是故答案为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像性质，属于较为基础题.15.已知函数其中且（1）当时，若，则实数的取值范围是_;(2)若存在实数使得方程
12、有两个实根，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)由分段函数，分别讨论x1和 ，解不等式即可.(2)分类讨论、和，分析得出结果.【详解】(1).当a=2时，f(2)=4当x1，f(x)4， 解得1x2，当，f(x)=x+14,此时恒成立，所以x的取值为： （2）令 当时，f(x)在递增，在递减，此时 且 恒成立，故方程有两个实根， 满足,当 时，f(x)在和递增，此时则当 时，方程有两个实根，满足，当 时，f(x)在和递增，此时 ，此时方程最多一个实根，故不满足题意.综上 故答案为；【点睛】本题主要考查了函数的概念与性质和指数与指数函数以及分类讨论思想，解题
13、的关键点在于第二问中能否找出a的范围，分的情况，属于较难题型.三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.若的面积为,，且为锐角.(1) 求的值；(2) 求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA,(2)先用余弦定理求出边a，再将式子化简，求解即可.【详解】（1）因为的面积为,所以 ，所以 因为 中，为锐角，所以. （2）在中，由余弦定理，所以由正弦定理 , 所以 .所以.【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.17.如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，、分
14、别为、的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；（）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以. 又因为平面，平面，所以平面；（）在等腰直角三角形中，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.又因为平面，所以；（）在平面内过点作垂直于，由（）知，平面，因
15、为平面，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系. 则，.，.设平面的法向量为，则，即.令则，所以.直线与平面所成角大小为，.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号 I II III IV V回访客户（人数） 250 100 200 700 350满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与
16、总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(2)从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；(3)用 “”, “”, “”, “”, “”分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户满意， “”, “”, “”, “”, “” 分别表示I, II, III, IV, V型号汽车让客户不满意.写出方差的大小关系.【答案】(1) (2)见解析；(3)【解析】【分析】（1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，
17、即可求出概率；（2）由题求出满意的人数为的分布列，继而求出期望;（3）根据公式直接得出结果，然后作比较【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是，满意的客户人数，故所求概率为（2）.设事件为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件.根据题意，估计为0.5，估计为0.2 .则; .的分布列为的期望（3）由题，I型号的平均数为0.5,所以= 同理= 同理=0.24；=0.21；=0.16所以【点睛】本题考查了概率统计和离散型随机变量的分布列和期望以及方差的求法，属于中档题.19.已知函数f(x)=lnx-a(1)若a=-1，
18、求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1) x-y-2=0 (2) 【解析】【分析】（1）利用曲线的切线方程公式，求得结果;（2）由题，进行变形为f(x)恒成立，即f(x)恒成立，构造新函数，用参变分离求函数单调性求其最值，求得a的范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+)（1）a=-1时，f(x)=lnx-,，且f(1)=-1.所以曲线在点(1,f(1)处的切线方程为y-(-1)=x-1，即x-y-2=0. （2）若f(x)恒成立，即f(x)恒成立设g(x)=f(x)-x=lnx-a，只要即可；当a=0时，令，得x=1.x,
19、变化情况如下表：x(0,1)1(1,+)+0-g(x)极大值所以，故满足题意.当a时，令，得x=-（舍）或x=1；x变化情况如下表：x(0,1)1(1,+)+0-g(x)极大值所以，令，得.当时，存在x=2-满足g(2-)=ln(2-)，所以f(x)不能恒成立，所以不满足题意.综上，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了曲线的切线问题和导函数的性质（单调性和最值问题），属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为A，右顶点B在直线上（）求椭圆C的方程；（）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明【答案】（）；（）以
20、BD为直径的圆与直线PF相切【解析】分析】（）根据条件解得a,b值，（）设点P（x0，y0），解得D点坐标，即得以BD为直径的圆圆心坐标以及半径，再根据直线PF方程，利用圆心到直线PF距离与半径大小关系作判断.【详解】（）依题可知B（a，0），a=2，因为，所以c=1，故椭圆C的方程为（）以BD为直径的圆与直线PF相切证明如下：设点P（x0，y0），则当x0=1时，点P的坐标为（1，），直线PF的方程为x=1，D的坐标为（2，2）此时以BD为直径的圆与直线PF相切当1时直线AP的方程为，点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离,故以
21、BD为直径的圆与直线PF相切综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题题. 直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.21.设有限数列，定义集合为数列的伴随集合（）已知有限数列和数列分别写出和的伴随集合；（）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；（）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由【答案】（）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为；（）（）不能【解析】【分析】（）由数列A的伴随集合定义可得P，Q的伴随集合；（）先证明对任意ik或jl，则ai+ajak
22、+al（1ijn，1kln），可得求集合M中各元素之和时，每个ai（1in）均出现n1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和；（）假设同时属于数列A的伴随集合M设数列A的公差为d（d0），运用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断【详解】解：（）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为（）先证明对任意或，则假设当且，因为，则，即，所以，与矛盾同理，当且时，也不成立当且时，不妨设，因为，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，所以，综上，对任意或，则所以求集合中各元素之和时，每个均出现次，所以 （）假设同时属于数列的伴随集合设数列的公差为，则即-得，-得，两式相除得，因为，所以，所以又因为，所以，所以，与矛盾，所以不能同时属于数列的伴随集合【点睛】本题考查新定义的理解和运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论首项和运算能力、推理能力，属于难题
