1、第4讲数列问题题型一数列通项与求和例1(12分)(2014江西)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列an的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.规范解答解(1)因为bn0，所以由anbn1an1bn2bn1bn0，得20，2分即2，3分所以cn1cn2，所以cn是以c11为首项，2为公差的等差数列，5分所以cn1(n1)22n1.6分(2)因为bn3n1，cn2n1.所以ancnbn(2n1)3n1.7分所以Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，9分
2、作差得：2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，11分所以Sn(n1)3n1.12分评分细则第(1)问得分点1.利用已知条件合理转化得2分.2.写成等差数列定义形式得1分.3.得出其首项、公差进而写出通项得3分.第(2)问得分点1.由bn3n1，cn2n1，得到an的通项得1分.2.在等式两端同乘以3给2分.3.错位相减给1分.4.错位相减后求和正确得2分.5.最后结果整理得1分.第一步：由已知条件确定an是等差数列还是等比数列；第二步：由等差数列或等比数列通项公式求得an的通项公式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第
3、四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易忽视对n1，n2时的讨论.跟踪训练1已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.题型二数列与函数、不等式的综合问题例2(12分)(2014浙江)已知数列an和bn满足a1a2a3an()bn(nN*).若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn；(2)设cn(nN*).记数列cn的前n项和为Sn.求Sn；求正整数k，使得对任意nN*，均有SkSn.规范解答解(1)由题意知a1a2a3an()bn，b3b2
4、6，知a3()68.2分又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)，4分所以，a1a2a3an()n(n1).故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*).6分(2)由(1)知cn(nN*)，Sn(1)，所以Sn(nN*).8分因为c10，c20，c30，c40，9分当n5时，cn，而0，得1，所以，当n5时，cn0，且a1)的图象上的一点.等比数列an的前n项和为f(n)c.数列bn (bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1 (n2).(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？答案精析第4讲数列问题
5、跟踪训练1解(1)当nkN*时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.跟踪训练2解(1)f(1)a，f(x)x.由题意知，a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c.又数列an是等比数列，a1c，c1.又公比q，ann12n (nN*)SnSn1()() (n2)又bn0，0，1.数列构成一个首项为1、公差为1的等差数列，1(n1)1n，即Snn2.当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，b11也适合此通项公式bn2n1 (nN*)(2)Tn.由Tn，得n，满足Tn的最小正整数n的值为101.
