1、5.2平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，
2、b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(6)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，则等于45.()2.已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为_.答案(，)或(，)解析因为点A(6
3、,2)，B(1,14)，所以(5,12)，|13，与共线的单位向量为(5,12)(，).3.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|2，且AOC，设 (R)，则的值为_.答案解析过C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_.答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5).5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则_.答案解析，()，.题型一平面向量基本定理的应用例1在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为
4、M，又t，试求t的值.思维启迪根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过t键立关于t的方程组，从而求出t的值.解，32，即22，2，即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示. A，M，Q三点共线，设x(1x)(x1)，而，(1).又，由已知t可得，(1)t()，解得t.思维升华平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解. 如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.答案解析设|y，|x，则， ，yx得，令，得yx，代入得m.题型二平面向量的坐标运算例2已知
5、A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求23；(2)设3，2，求及M、N点的坐标.思维启迪(1)直接计算、的坐标，然后运算；(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标.解(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(21,32)(3,5)，(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6).(2)3，2，2323，由A、B、C、D点坐标可得(3,2)(1，2)(2,4).2(1,1)3(2,4)(4,10).设M(xM，yM)，N(xN，yN).又3，3()，(xM，yM)(3,
6、2)3(1，2)(3,2)(6，12).xM3，yM10，M(3，10).又2，即2，(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0).思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324
7、)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2).(9，18).题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.(2)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.思维启迪(1)根据向量共线列式求相关点的坐标；(2)根据向量共线求参数.答案(1)(2,4)(2)5解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(
8、x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得，故点D的坐标为(2,4).(2)依题意得ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.思维升华(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(1)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若为实数，(ab)c，则_.
9、(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.答案(1)(2)m解析(1)a(1,2)，b(1,0)，ab(1,2)(1,0)(1，2)，由于(ab)c，且c(3,4)，4(1)60，解得.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3,1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m.忽视平行四边形的多样性致误典例：(14分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标.易错分析此题极易
10、出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解.实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形.规范解答解如图所示，设A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，D(x，y).3分若四边形ABCD1为平行四边形，则，而(x1，y)，(2，5).由，得D1(3，5).6分若四边形ACD2B为平行四边形，则2.而(4,0)，(x1，y5).D2(5，5).9分若四边形ACBD3为平行四边形，则.而(x1，y)，(2,5)，D3(1,5).12分综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5).14分温馨提醒(1)本题考查向量坐标的
11、基本运算，难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论.此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口.(2)向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解.方法与技巧1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是ab，这与x1y2x2y10在本质上是没有差异的，只是形式上不同.(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组
12、成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.失误与防范1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.(2012广东改编)若向量(2,3)，(4,7)，则_.答案(2，4)解析由于(2,3)，(4,7)，所以(2,3)(4，7)(2，4).2.在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.答案(6,21)解析33(2)63(
13、6,30)(12,9)(6,21).3.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab0)共线，则的值为_.答案解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.4.如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且 2，则x_，y_.答案解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.5.已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.答案1解析由题意知(3,0)，(0, )，则(3， )，由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，tan 150，即，1.6.已知向量a(1,2)，b(x,1
14、)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.答案解析因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.7.(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.答案解析如图，()，则1，2，12.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，则角C_.答案60解析因为pq，则(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，结
15、合余弦定理知，cos C，又0C180，C60.二、解答题9.已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b).(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点C的坐标.解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1).A、B、C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点C的坐标为(5，3).10.如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且 P，G，Q三点共线.(1)设，将用，表示；(2)设x，y，证明：是定值.(1)解()(1).(2)证明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().而，不共线，
16、由，得解得3(定值).B组专项能力提升(时间：35分钟)1.设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_.答案(4，2) 解析a与b方向相反，可设ab(0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_.答案8解析据已知得，又(a1,1)，(b1,2)，2(a1)(b1)0，2ab1，442 8，当且仅当，即a，b时取等号，的最小值是8.3.已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是_.答案0解析，.又rs，r，s，rs0.4.已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a_.答案2解析设C(x，y)，则(x7，y
17、1)，(1x,4y)，2，解得.C(3,3).又C在直线yax上，3a3，a2.5.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是_.(填序号)C可能是线段AB的中点；D可能是线段AB的中点；C，D可能同时在线段AB上；C，D不可能同时在线段AB的延长线上.答案解析依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，所以0，不可能成立.因此不对，同理不对.当C，D同时在线段AB上时，由，知
18、01,02，与已知条件2矛盾，因此不对.若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上.6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若xy，其中x，yR，求xy的最大值.解以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B(，)，设AOC(0，)，则C(cos ，sin )，由xy，得，所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin()， 又0，所以当时，xy取得最大值2.7.已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.解(1)(1,2)，(3,3)，t(13t,23t).若点P在x轴上，则23t0，解得t；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若点P在第三象限，则解得t.(2)若四边形OABP为平行四边形，则，该方程组无解，四边形OABP不能成为平行四边形.
