1、四川省乐山市2020-2021学年高一数学下学期期末考试教学质量检测试题（含解析）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答
2、案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，的等差中项是（ ）A. B. C. 1D. 22. （ ）A. B. C. D. 3. 如图，、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 4. 设，则有（ ）A. B. C. D. 5. 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是（ ）A. 与的方向相同B. 与的方向相反C. D. 6. ，下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则7. 在等差数列中，
3、若，则（ ）A. 18B. 30C. 36D. 728. 在中，分别是角，的对边，若成立，那么的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 无法判断9. 在中，角、所对的边分别是，且，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知数列中，若，且、三点共线（该直线不过点），则数列的通项公式为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，四边形是等腰梯形，、分别是腰、的中点，点是的一个三分点，若，则（ ）A. B. C. D. 12. 已知正项等比数列满足，若存在两项，使得成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 不存在第二部分（非选择题 90分）注意事项：1. 考生
4、须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2. 本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共 20分.13. 不等式的解集为_.14. 已知，如果，则_.15. 某市出租车的计价标准为1.2元，起步价为6元，即最初（不含）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_.16. 如图，在矩形中，为的中点，若是该矩形内（含边界）任意一点，则的取值范围为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
5、程或推演步骤.17. 如图，河流上有一座桥，其长度，在桥的两端，处测得空中一气球的仰角分别为，试求气球的高度.18. 已知，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦.19. 已知数列为等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和的最大值.20. 某地要修建一条大型输油管道通过宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的费用为400元，铺设距离为的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为（万元）.（1）试将表示为的函数；（2）需要修建多少个增压站才能
6、使最小，其最小值为多少？21. 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点，过作轴于点.（1）若点的纵坐标为，求点的横坐标；（2）求的面积的最大值.22. 已知单调等比数列中，首项，其前项和为，且，成等差数列，数列满足条件.（1）求数列，的通项公式；（2）设，记数列的前项和为.求；求正整数，使得对任意，均有.参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1两数与的等差中项是（）ABC1D2解：设m为两数与的等差中项，则，所以m故选：B2sin72sin48sin18sin42（）ABCD解：由诱导
7、公式可得sin48cos42，sin18cos72，sin72sin48sin18sin42sin72cos42cos72sin42sin（7242）sin30故选：B3如图，D、E、F分别是等边ABC各边的中点，则下列结论成立的是（）ABCD解：由已知可得DEDFEF，且EFBC，EFBC，DE，所以由图可得：选项A，C，D错误，B正确，故选：B4设P（a+1）（a5），Q2a（a3），则有（）APQBPQCPQDPQ解：根据题意，P（a+1）（a5），Q2a（a3），则PQ（a24a5）（2a26a）a2+2a5（a1）240，则pQ，故选：C5设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是（
8、）A与的方向相同B与的方向相反CD解：是非零向量，是非零实数，对于A，当0时，与的方向相反，故A错误；对于B，当0时，与的方向相同，故B错误；对于C，|，故C错误；对于D，|，故D正确故选：D6a，bR，下列命题正确的是（）A若a|b|，则a2b2B若ab，则a2b2C若a|b|，则a2b2D若|a|b，则a2b2解：对于A选项，当 a1，b1时，满足a|b|，但a2b2，故A选项错误，对于B选项，当a1，b3时，a2b2，故B选项错误，对于C选项，若a|b|，则有|a|b|，则a2b2，故C选项正确，对于D选项，当a1，b3时，a2b2，故D选项错误故选：C7在等差数列an中，若a4+a5+
9、a6+a7+a890，则a3+a9（）A18B30C36D72解：由an是等差数列，得a4+a5+a6+a7+a85a690，解得a618，所以a3+a92a621836故选：C8在ABC中，a，b分别是角A，B的对边，若成立，那么ABC的形状是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰或直角三角形D无法判断解：因为，可得acosAbcosB，所以由余弦定理可得ab，整理可得c2（a2b2）（a2+b2）（a2b2），所以a2b20，或c2a2+b2，所以ab，或C为直角，故ABC的形状是等腰或直角三角形故选：C9在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且2acosC2bc，则A（）ABCD
10、解：因为2acosC2bc，所以由余弦定理可得2a2bc，整理可得b2+c2a2bc，可得cosA，因为A（0，），所以A故选：B10已知数列an中，a11，若，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则数列an的通项公式为（）ABCD解：由，可得+，A，B，C三点共线，anan1n （n2），a2a12，a3a23，a4a34，.anan1n，ana12+3+.+n，an1+2+3+.+n，故选：A11如图，四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，点P是EF的一个三分点，AB2CD，若，则+（）ABCD解：由已知可得EF，则，则，又，所以，所以，故选：D12已知正项等比数列
11、an满足a7a6+2a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（）ABCD不存在解：设正项等比数列an的公比为q0，a7a6+2a5，化为q2q20，q0，解得q2存在两项am，an，使得，4a1，化为：m+n6则m1，n5；m2，n4；m3，n3；m4，n2；m5，n1则当m2，n4时，的最小值为故选：A二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13不等式0的解集是（2，1）解：0，（x1）（x+2）0，解得：2x1，故不等式的解集是（2，1），故答案为：（2，1）14已知A（1，1），B（1，3），C（m，2），如果ABBC，则m2解：根据题意，A（1，1），B（1，3），C（
12、m，2），则（2，2），（m1，1），若ABBC，则，则有2（m1）20，解可得m2故答案为：215某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为6元，即最初3km（不含3km）计费6元若某人乘坐该市的出租车去往13km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为 19.2解：根据题意，设乘车距离为x，车费为y，则有y，若某人乘坐该市的出租车去往13km处的目的地，付费分两部分：前3km付费6（元），3km到13km付费（132）1.213.2（元），需要一共付费6+13.219.2元，故答案为：19.216如图，在矩形ABCD中，AB2，BC1，E为BC的中点，若F是该矩形内
13、（含边界）任意一点，则的取值范围为 解：建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），E（2，），D（0，1），设F（x，y），其中0x2，0y1，则（2，）（x，y1）2x+y，设z2x+y，则y4x+（2z+1）；2z+1是直线y4x+（2z+1）在y轴上的截距，则截距最小时，z最小；截距最大时，z最大；可看出直线y4x+（2z+1）过点C（2，1）时z最大，此时18+2z+1，z4；过点C（2，0）时z最大，此时00+2z+1，z；故的取值范围是，4，故答案为：，4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17如图，河流上有一座桥，其长度BC100m，在桥
14、的两端B，C处测得空中一气球的仰角分别为30，45，试求气球的高度h解：由题可知，ABO45，ACO30，OBOAh，OCOB+BCh+100，在RtAOC中，ACO30，即答：气球的高度为18已知，且（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦解：（1）根据题意，则（2，），若，则有，解可得：2，（2）由（1）知，设与的夹角为，则19已知数列an为等差数列，且a37，a53（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn的最大值解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意得a5a32d4，解得d2，故ana3（n3）d7（n3）（2）132n，即an的通项公式为an132n（2）由（1
15、）知，a111，故（n6）2+36（nN+），结合二次函数性质可知：当n6，Sn有最大值且Sn的最大值为S63620某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x2+x万元设余下工程的总费用为y万元（1）试将y表示成关于x的函数；（2）需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少万元？解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x240，即所以因为x表示相邻两增压站之间
16、的距离，则0x240故y与x的函数关系是（2）当且仅当即x20时取等号此时，故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元21如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且，），将角的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BCy轴于点C（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求AOC的面积S的最大值解：（1）由定义得，A（cos，sin），B（cos（+），sin（+），依题意知sin，所以，所以点B的横坐标为cos（+）cos，（2）|OA|1，|OC|sin（+），AOC，S|OA|OC|sinAOCsin（+）
17、sin（）（sin+cos）cos（sincos+cos2）（sin2+cos2）+sin（2+）+，（2+），），当2+），即时，sin（2+）取最大值，S的最大值为22已知单调等比数列an中，首项为 ，其前n项和是Sn，且+S3，S5，a4+S4成等差数列，数列bn满足条件（）求数列an、bn的通项公式；（）设cnan，记数列cn的前n项和Tn求Tn；求正整数k，使得对任意nN*，均有TkTn解：（） 设由已知得 即，进而有所以，即，则，由已知数列an是单调等比数列，且所以取，数列an的通项公式为；，则bnn（n+1）数列bn的通项公式为bnn（n+1）；（） 由（）得，设pnan，pn的前n项和为Pn则又设，qn的前n项和为Qn则所以TnPnQn，令由于2n+1比（n+1）（n+2）变化快，所以令Tn+1Tn0得n4即T1，T2，T3，T4递增，而T4，T5，T6Tn递减所以，T4最大即当k4时，TkTn
