1、专题五 立体几何题型 1 三视图与表面积、体积三视图是高考的新增考点，经常以一道客观题的形式出现，有时也和其他知识综合作为解答题出现，2007 年与 2009 年两次涉及解答题.解题的关键还是要将三视图转化为简单几何体，或者其直观图.例 1：(2014 年陕西)已知四面体 ABCD(如图 5-1)及其三视图(如图 5-2)，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H.(1)求四面体 ABCD 的体积；(2)证明：四边形 EFGH 是矩形.图 5-1图 5-2(1)解：由该四面体的三视图，可知：BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.AD
2、平面 BCD.四面体 ABCD 的体积 V13ADSBCD131122223.(2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面 EFGH平面 ABCEH，BCFG，BCEH.FGEH.同理，EFAD，HGAD.EFHG.四边形 EFGH 是平行四边形.又AD平面 BCD，ADBC.ADEF，BCFG，EFFG.四边形 EFGH 是矩形.【规律方法】解决此类问题的一般步骤为：将三视图转化为简单几何体，或者其直观图.应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正视图、俯视图一样长，正视图、侧视图一样高，俯视图、侧视图一样宽”；利用相关的体积(或面积)公式进行运算；利用相关定理进行平行
3、或垂直的证明.【互动探究】1.(2014 年广东汕头一模)已知某几何体的直观如图 5-3(1)与它的三视图如图 5-3(2)，其中俯视图为正三角形，其他两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点.(1)求出该几何体的体积；图 5-3(2)求证：直线BC1平面AB1D；(3)求证：平面AB1D平面AA1D.图 D50解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为 3的正三角形，三棱柱的高 h3.(1)底面是高为 3的正三角形，易知底面边长为 2.底面面积 s122 3 3.体积 Vsh3 3.(2)如图D50，连接A1B，且A1BAB1O，正三棱柱侧面是矩形，点O是棱A1B的中点.D
4、为棱A1C1的中点，连接DO，DO是A1BC1的中位线.BC1DO.又DO平面AB1D，BC1 平面AB1D，BC1平面AB1D.(3)在正三棱柱ABCA1B1C1中，三角形A1B1C1为正三角形，B1DA1C1.又由正三棱柱性质知平面A1B1C1平面ACC1A1，且平面A1B1C1平面ACC1A1A1C1，B1D平面A1B1C1，B1D平面AA1D.又B1D平面AB1D，平面AB1D平面AA1D.题型 2 立体几何中的探索性问题例2：如图54，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点 M 是棱 BB1 上一点.(1)求证：B1D1平面 A1BD；(2)求证：MDAC；(3
5、)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1平面 CC1D1D.图 5-4(1)证明：由直四棱柱，得BB1DD1.又BB1DD1，BB1D1D是平行四边形.B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，B1D1平面A1BD.(2)证明：BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，AC平面BB1D.而MD平面BB1D，MDAC.(3)解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.理由如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图55.图 5-5N是DC的中点，BDBC.BNDC.又DC是平面ABCD与平面D
6、CC1D1的交线，而平面ABCD平面DCC1D1，BN平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点.BMON，且BMON，即BMON是平行四边形.BNOM.OM平面CC1D1D.OM平面DMC1.平面DMC1平面CC1D1D.【互动探究】2.(2015 年湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图 5-6 所示的阳马 P-ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，点 E 是 PC 的中点，连接DE，BD，BE.图 5-6(1)证明：DE平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的
7、直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值.解：(1)因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC.由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD.而 PDCDD，所以 BC平面 PCD.因为 DE平面 PCD，所以 BCDE.又因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.由 BC平面 PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD 是阳马 P-ABCD
8、 的高，所以 V113SABCDPD13BCCDPD.由(1)知，DE 是鳖臑 D-BCE 的高，BCCE，所以 V213SBCEDE16BCCEDE.在 RtPDC 中，因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以 DECE 22 CD.于是 V1V213BCCDPD16BCCEDE2CDPDCEDE 4.题型 3 折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
9、解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法.例3：如图57，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60.点 E，F 分别在边 CD，CB 上，点 E 与点 C，D 不重合，EFAC 于点 O.沿 EF 将CEF 翻折到PEF 的位置，使平面 PEF平面 ABFED.(1)求证：BD平面 POA；(2)当 PB 取得最小值时，求四棱锥 P-BFED 的体积.图 5-7思维点拨：(1)根据翻折前后直线 BD 与直线 AO 的垂直关系不变，可使用线面垂直判定定理进行证明；(2)先选用一个与PB 有关的变量表示 PB 的长度，使用函数的方法求出
10、在什么情 况下 PB 最小，再求出四棱锥 P-BFED 的高和底面积，根据锥体体积公式计算即可.(1)证明：因为菱形 ABCD 的对角线互相垂直，所以 BDAC，所以 BDAO.因为 EFAC，所以 POEF.因为平面 PEF平面 ABFED，平面 PEF平面 ABFEDEF，且 PO平面PEF.所以 PO平面 ABFED.因为 BD平面 ABFED，所以 POBD.因为 AOPOO，又 BDAO，所以 BD平面POA.(2)解：设 AOBDH，因为DAB60，所以BDA 为等边三角形.设 POx，如图 5-8，连接 OB，PH，图 5-8故 BD4，HB2，HA2 3.则 OH2 3x，OA
11、4 3x.由 OHBD，则 OB2OH2BH2(2 3x)222.由(1)知，PO平面 BFED，则 POOB.所以 PB OB2OP2 2 3x222x2 2x 3210.当 x 3时，PBmin 10，此时 PO 3.所以当 PB 取得最小值时，V 四棱锥 P-BFED13S 梯形 BFEDPO1334 42 34 22 33.【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明.【互动探究】3.(2014 年广东)如图 5-9(1)
12、，四边形 ABCD 为矩形，PD平面 ABCD，AB1，BCPC2，作如图 5-9(2)折叠，折痕EFDC.其中点 E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后点P 在线段 AD 上的点记为 M，并且 MFCF.(1)证明：CF平面 MDF；(2)求三棱锥 M-CDE 的体积.(1)(2)图 5-9(1)证明：四边形 ABCD 为矩形，ADCD.PD平面 ABCD，AD平面 ABCD，PDAD.又 PDCDD，AD平面 PCD.又 CF平面 PCD，ADCF，即 CFMD.又 MFCF，MFMDM，CF平面 MDF.(2)解：CF平面 MDF，CFDF.由 PC2，CDAB1，且 PDCD，得 DP 3，PCD60.则CDF906030.CF12CD12.EFDC，DEDPCFCP，即DE3122.DE 34.PE 3 34 3 34.SCDE12CDDE 38，MD ME2DE2 PE2DE23 342342 62.VM-CDE13SCDEMD13 38 62 216.
