1、数学试题(文科)一选择题1.已知集合A，B=,则AB=A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先解A、B集合，再取交集【详解】,所以B集合与A集合的交集为，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集2.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.3.已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先算出的坐标，利用向量共线的坐标形式可
2、得到的值.【详解】，因为，所以，所以，故选D.【点睛】如果，那么：（1）若，则；（2）若，则；4.已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先用诱导公式化简,再借助三角函数的定义即可解得.【详解】因为角终边经过点,则有,所以.故选:B.【点睛】本题考查诱导公式, 考查三角函数的定义求函数值,难度容易.5.函数的极大值点为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数求导，根据导数由函数单调性，即可容易求得函数的极大值点.【详解】，当或时，单调递增；当时，单调递减；故的极大值点为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.6.
3、已知是双曲线的一个焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用已知条件列出关系式，求解，然后得到双曲线的渐近线方程【详解】解：由已知为双曲线的一个焦点可得，即，所以渐近线方程为：故选：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查7.函数的图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状【详解】由题意得函数的解析式为，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C,D又当x0时，cos(x)1，0，f(x)+，所以可排除B故选A【点睛】根据函数的解析式判
4、断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果8.函数的图像在点处的切线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求导，根据切线斜率等于切点处的导数即可求解.【详解】，由导数的几何意义可知，切线的斜率，设切线的倾斜角为，即，所以.故选C.【点睛】本题考查导数的几何意义.9.设等比数列的前项和为，若，且、成等差数列，则（）A. 510B. 255C. 512D. 256【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据、成等差数列得出，然后根据数列是等比数列以及解得，最后通过等比数列前项
5、和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列的前项和为，且、成等差数列，所以，即，解得，所以，故选：B.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项公式以及等比数列前项和公式的相关性质，若公比，则等比数列前项和公式为，考查计算能力，是简单题.10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）A. 是最小正周期为的偶函数B. 是最小正周期为的奇函数C. )在上单调递减D. 在上的最大值为【答案】D【解析】【分析】化简，可得，由将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，结合余弦函数图象特征，即可求得答案.【详解】由将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的
6、图象可得可得其周期为,故A,B错误根据其周期为，结合余弦图象特征可知，在不是单调函数根据，在在时，故此时取最大值，故D正确；综上所述，只有选项D符合题意故选：D.【点睛】本题解题关键是掌握三角函数图象平移的方法和余弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数求导函数，由已知条件得其导函数在上有零点，建立不等式组可得范围.【详解】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点。所以，解得.故选：D.【点睛】本题主要考查导函数的极值问题，关键在于得出导函数在所给的区间上有零点，转化为求解不
7、等式组的问题，属于基础题,12.已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可【详解】解：因为是定义在上的奇函数，由函数对于任意的满足，令，则为奇函数；故，故在单调递增，又是奇函数，所以在上单调递增，可得，故B正确；故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数求值，属于中档题二填空题13.已知函数，则曲线在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，算出，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；【详解】解
8、：因为，所以，所以故切线方程为，整理得故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_.【答案】（或写成）【解析】【分析】设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得，故，将代入可得得到，于是与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.15.已知不等式恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】参变分离可得恒成立，再求的最小值即可.【详解】由题恒成立，设，则.故当时，单调递减；当时，单调递增.
9、故.故.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值解决恒成立的问题,属于基础题.16.给出如下四个命题中正确命题的编号是_.“”是“”的充分不必要条件；命题“若，则”的否命题为“若，则”；命题“，”的否定是：“，”；在中，“”是“”的充要条件.【答案】【解析】【分析】根据充分条件、必要条件定义可判断出，根据原命题的否命题要否定条件和结论可判断，命题的否定只否定结论，不否定条件可判断出.【详解】中， 由，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以错；中，命题“若，则”的否命题为“若，则”，所以正确；中，命题“，”的否定是：“，”，所以错；中，在中，“”由正弦定理可得，即，所以，逆推
10、也可以，所以正确.故答案为：【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断，以及命题的否定和否命题，尤其注意特称命题和全称命题的否定.三解答题17.已知等差数列的前项和为.且,.（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时,数列的前项和最大？【答案】(1);(2)【解析】分析】(1)设等差数列的公差为.由,.利用通项公式即可得出.(2)求出,结合二次函数的性质,可求.【详解】解:(1)设等差数列的公差为.且.,解得.(2).可把 看作是关于 的二次函数,此时,对称轴为 因为,所以当时,数列的前项和最大.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列和的问题.求等差数列的通项公式时,常用的方法是基本
11、量法,即用 将已知条件表示出来,解方程即可.当求解 取何值, 最大时,可结合二次函数的思想.易错点在于忽略了.18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求a的值.【答案】()；().【解析】【分析】（）由题意结合正弦定理边化角，整理计算可得，则.（）由三角形面积公式可得：，结合余弦定理计算可得，则.【详解】（）由正弦定理得，即，（）由：可得，由余弦定理得：，.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应
12、用解决三角形问题时，注意角的限制范围19.在三棱锥中,和是边长为等边三角形, 分别是的中点.（1）求证:平面（2）求证:平面 （3）求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).【解析】【分析】(1)由已知结合三角形中位线定理得,再由线面平行的判定可得平面;(2)由已知可得,求解三角形证明,再由线面垂直的判定可得平面;(3)由(2)可知,平面,可得,再由三棱锥的体积为体积的求解.【详解】(1)证明:分别为的中点,平面,平面,平面.(2)证明:,为的中点,同理,.则,即,.平面.(3)解:由(2)可知,平面.为三棱锥的高,且.【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查了线面垂直的判定,
13、考查了椎体的体积.在证明线面垂直时,由判定定理,这里需要证明两次线线垂直.在证明线线垂直时,常用的方法有:菱形的对角线垂直,三角形中勾股定理,等腰三角形中三线合一,建立空间坐标系用空间向量证明.在证明线面平行时,由判定定理,需要证明线线平行.在证明线线平行时,常用的方法有:利用三角形的中位线,平行四边形的对边平行,空间向量证明.20.3月3日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台上发布了一项研究：在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了1月1日29日的6013份病例数据，发现的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有为男性.随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据.他们
14、按照症状程度的不同进行分析，结果发现，男性患者有为危重，而女性患者危重情况的为.也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各50个数据，统计如下：轻中度感染重度（包括危重）总计男性患者女性患者总计（1）求列联表中的数据的值；（2）能否有把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人，追踪某种中药制剂的效果.然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录，求至少抽到2名女性患者的概
15、率.附表及公式：.【答案】（1）， ，；（2）没有；（3）【解析】【分析】（1）根据列联表所给数据，联立方程组，即可求得答案；（2）根所给数据得到列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可求得答案；（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率.【详解】（1）求列联表可得解得：， ，.（2）根据所给数据由没有99.9%把握认为新冠肺炎的感染程度和性别有关（3）由于在“轻-中度感染”的患者中，按男女比例为2:3，设抽取的5人中3名女性患者用a，b，c表示，2名男性患者用D，E表示，则所有组合为：(D,E,a)(D,E,b),(D,E,c),(D,a,b),(D,a,c),(D,b,c),
16、(E,a,b),(E,a,c),(E,b,c),(a，b，c)，可能的情况共有10种其中至少抽到2名女性患者的情况有7种，设至少抽到2名女性患者的事件为，则【点睛】本题主要考查列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.21.已知函数（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析:(1)先求导数,根据a的正负讨论确定导函数符号，进而确定对应单调性(2)分离变量转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值 即得实数的取值范围.试题解析:（）依题意 ，若，则函数在上单调递增，在上单调递减；若，则函数在
17、上单调递减，在上单调递增.（）因为，故，当时，显然不成立；当时，化为：；当时，化为：；令，则 ，当时，时，故在是增函数，在是减函数， ，因此不成立，要成立，只要，所求的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.22.在平面直角坐标中，直线的参数方程为（为参数，为常数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于两点，若，求的值【答案】（），（）【解析】【分析】（）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程，而曲线的极坐标方程可化为，利用可得的直角方程（）利用直线参数方程中参数的几何意义可得【详解】（）直线的参数方程为（为参数，为常数），消去参数得的普通方程为：即 ，即，即故曲线的直角坐标方程为（）法一：将直线的参数方程代入曲线中得，法二：将代入曲线化简得：,【点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等
