1、3.2 立体几何中的向量法(3)第三章 空间向量与立体几何 空间向量与空间角本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。http
2、:/ 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题.3.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.O A B aabb两个向量的夹
3、角 如图,已知两个非零向量,a b,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则AOB叫做向量 a 与b 的夹角,记作:,a b.范围:0,a b.,a bb a.如果,2a b,则称a 与 b 垂直,记为ab.两个向量的夹角 已知空间两个非零向量,a b,则,a b 叫做,a b 的夹角.即 cos,a ba ba b.异面直线所成的角设直线,l m 的方向向量分别为,a b lamlamb若两直线 所成的角为 ,则,l m(0)2cosa ba bb线面角 u aulasina ua u设直线 的方向向量为a，平面 的法向量为u，且直线 与平面 所成的角为0,则(2)lllcoscos,AB C
4、DAB CDAB CDDClBA 二面角 1 方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角.如图，设二面角-的大小为,其中AB,AB,CD,CD.?lll,m ncos.m nm nl(2)法向量法将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角.如图，向量n ，m ，则二面角-的大 小 .注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角：若二面角-的大小为(0 ),则llnm二面角的范围：0,1n2n2n1ncos12|cos,|n ncos12|cos,|n nAOB,的夹角为，cos|u vuv uv,的夹角
5、为，cos|u vuvuv 例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABDBACbca2222DBCAbca2222ABCD例1图典例展示所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba于是，得22222dcbaDBCA设向量
6、与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaab例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB.(2)求证：PB平面EFD.A B C D P E F(3)求二面角C-PB-D的大小.ABCDP E F xyzG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,),2 2APE依题意得因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，1 1故点
7、G的坐标为(,0),2 211(1,0,1),(,0,).22PAEG且2/.PAEGPAEG所以，即,EGEDBPAEDB而平面且平面/.PAEDB所以，平面(1,1,0),(1,1,).1BPB（2）证明：依题意得1 1(0,),2 21100.22DEPBDE又故.PBDE所以,EFPBEFDEE由已知且.PBEFD所以平面已知PBEF,由（2）可知PBDF,故EFD是二面角C-PB-D的平面角.(,),(,1),x y zPFx y z设点F的坐标为则,PFkPB因为(,1)(1,1,1)(,),x y zkk kk所以,1,xk yk zk 即0,PB DF因为(3)(1,1,1)(
8、,1)1310,k kkkkkk 所以1,3k 所以1 1 2(),3 3 3F所以点 的坐标为，1 1(0,),2 2E又点 的坐标为1 11(,),3 66FE 所以cos1 111121(,)(,)13 663336,1266363FE FDEFDFE FD因为60,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,),333FD (1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小 例3.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面ABCD是边长为 1的菱形，ABC4，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点分析：建系求相关点坐标求相关向量坐
9、标向量运算结论 解 作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，22，0)，D(22，22，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(1 24，24，0)(1)证明 MN(1 24，24，1)，OP(0，22，2)，OD(22，22，2)设平面 OCD 的法向量为 n(x，y，z)，由 nOP 0，nOD 0，得 22 y2z0，22 x 22 y2z0.取 z 2，得 n(0，4，2)MN n(1 24)0 24 4(1)20，MN n.又 MN平面 OCD，MN平面 OCD.(2)
10、设异面直线 AB 与 MD 所成的角为.AB(1，0，0)，MD(22，22，1)，cosAB，MD AB MD|AB|MD|222 12.AB 与MD 所成的角为23.故异面直线 AB 与 CD 所成的角 23 3.本题较好地体现了转化思想：空间线面的位置关系转化直线的方向向量、平面的法向量之间垂直或共线转化空间向量运算转化空间线面位置关系；空间角转化向量的夹角转化空间向量的运算转化空间角 1.（2014长春高二检测）在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则 AC 与 BD1所成角的余弦值为()A.0 B.3 7070 C.3 7070 D.7070 2.（201
11、4哈尔滨高二检测）在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中 点，且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是()A30 B45 C60 D75 A A D 3.（2014南宁高二检测）如图所示，已知点 P 为菱形 ABCD 外一点，且 PA面 ABCD，PAADAC，点 F 为 PC 中点，则二面角 CBFD的正切值为()A.36 B.34 C.33 D.23 3 面面距离 回归图形点面距离 向量的模二面角 平面角 向量的夹角 回归图形设直线,l m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则 两直线 l,m 所成的角为(02),cosa ba b；二、利用向量求空间角 一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”直线l 与平面 所成的角为(02),sina ua u；二面角-l-的大小为(0),cos.u vu v 课后练习课后习题
