1、阶段提升课第三课平面向量及其应用思维导图构建网络考点整合素养提升题组训练一平面向量数量积的运算1.已知向量a与b的夹角为120,|a|=3,|a+b|=,则|b|=()A.1B.3C.4D.5【解析】选C.根据条件,|a+b|2=a2+2ab+b2=9-3|b|+|b|2=13,解得|b|=4或-1(舍去).2.在直角梯形ABCD中,AB=4,CD=2,ABCD,ABAD,E是BC的中点,则(+)=()A.8B.12C.16D.20【解析】选D.因为(+)=+,由数量积的几何意义可得:的值为与在方向投影的乘积,又在方向的投影为AB=2,所以=42=8,同理=43=12,所以(+)=8+12=2
2、0.利用数量积的定义、运算律求解数量积在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,上述两个公式以及(a+b)(a-b)=a2-b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.题组训练二向量平行、垂直的证明1.已知向量a=(m,1),b=(2,-3),若(2a-b)b,则m=()A.-B.C.D.-【解析】选B.(2a-b)b,则(2a-b)b=(2m-2,5)(2,-3)=4m-4-15=4m-19=0,所以m=.2.若|a|=|b|=1,ab,(2a+3b)(ka-4b),则实数k
3、的值为()A.-6B.6C.-3D.3【解析】选B.因为ab,所以ab=0,因为,所以=0,因此2ka2-12b2=0所以2k-12=0,k=6.3.已知向量a=(3,1),b=(m,m+2),c=(m,3),若ab,则bc=()A.-12B.-6C.6D.3【解析】选C.因为ab,所以3m+6-m=0,解得m=-3,b=(-3,-1),又c=(-3,3),所以bc=9-3=6.1.证明共线问题常用的方法(1)向量a,b(a0)共线存在唯一实数使b=a.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0.(3)向量a与b共线|ab|=|a|b|.(4)向量a与b共线存在
4、不全为零的实数1,2,使1a+2b=0.2.证明平面向量垂直问题的常用方法abab=0x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).题组训练三向量在几何问题中的应用1.在ABC中,已知向量与满足=0,且=,则ABC的形状为_.【解析】因为向量,分别表示与向量,同方向的单位向量,所以以,为邻边的平行四边形是菱形,根据平行四边形法则作=+(如图所示).则AD是BAC的平分线.因为(+)=0,所以BAC的平分线AD垂直于BC,所以AB=AC,又cosBAC=,且BAC(0,),所以BAC=,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形2.设O是平面ABC内一定点,P为平面ABC内一
5、动点,若(-)(+)=(-)(+)=(-)(+)=0,则O为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.若(-)(+)=(-)(+)=(-)(+)=0,可得(+)=(+)=(+)=0,即为(-)(+)=(-)(+)=(-)(+)=0,即有|2=|2,则,故O为ABC的外心.利用向量解决几何问题的常用思路把已知问题转化为向量的形式,再通过相应的向量运算去完成,同时,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,让平面向量的坐标成为形与数的载体.题组训练四正余弦定理解三角形1.a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知A=,sin C=4sin B.(1)若ABC的面积为4,求b;(
6、2)若c2-b2=47,求ABC的周长.【解析】(1)由sin C=4sin B,得c=4b.因为ABC的面积为S=bcsin A=bc=b2=4,所以b=2.(2)因为c2-b2=47,c=4b,可得b=1,c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=1+48-24=37,所以a=,故ABC的周长为1+4+.2.如图,在ABC中,AC=2,B=,D是边BC上一点.(1)若BAD=,BD=2,求C;(2)若BD=3CD,求ACD面积的最大值.【解析】(1)因为B=,BAD=,BD=2,所以AD=,在ADC中由正弦定理得,sin C=AD=,又0CBabsinAsinB.关闭Word文档返回原板块
