1、2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程课时过关能力提升1.双曲线的方程为x210-y26=1,则它的焦点坐标是()A.(2,0),(-2,0)B.(4,0),(-4,0)C.(0,2),(0,-2)D.(0,4),(0,-4)解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,所以两焦点坐标为(4,0),(-4,0).答案:B2.方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是()A.-1k0C.k0D.k1或k0,解得-1k0,于是焦点都在x轴上,故有4-m=m+2,解得m=1.答案:A4.已知方程ax2-ay2=b,且ab0,b0),则a2+b2=20,且18a2-4b2
2、=1,解得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为x212-y28=1.答案:D6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则符合上述条件的双曲线的标准方程为.解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解.即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,故a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12且焦点在x轴上,双曲线的标准方程为x24-y212=1.答案:x24-y212=17.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为.解析:设右
3、焦点为F1,依题意,|PF|=|PF1|+4,|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4|AF1|+4=5+4=9.答案:98.已知双曲线x24-y2=1的两个焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足F1PF2=2,则F1PF2的面积是.解析:设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,则-2,得r1r2=2.SF1PF2=12r1r2=1.答案:19.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),又
4、知c=6,再把点代入即可求得.解:设所求的双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则有25a2-4b2=1,a2+b2=62,解得a=25,b=4,故所求的双曲线的标准方程为y220-x216=1.10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.分析:由于不知道焦点在哪个轴上,所以应先分两种情况来讨论,然后把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1,然后把两点代入求解.解:方法一:当焦点在x轴上时,设所求的双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0).因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,所以1a2-1b2=1,(-2)2a2-52b2=1,解得a2=78,b2=7.当焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),同理,有1a2-1b2=1,52a2-(-2)2b2=1,解得a2=-7,b2=-78,不合题意,舍去.故所求的双曲线的标准方程为x278-y27=1.方法二:设所求的双曲线方程为Ax2+By2=1.因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程有A+B=1,4A+25B=1,解得A=87,B=-17.故所求的双曲线的标准方程为x278-y27=1.
