1、2016-2017学年内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学高一上学期期中考试数学一、选择题：共12题1已知，那么A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查集合的基本运算.，故2满足条件的所有集合的个数为A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】本题考查集合的基本关系. 集合B至少包含元素3,4,5，并且，则集合B可能的情况共有个.3定义在实数集上的函数满足，若，那么的值可以为A.-5B.5C.0D.-1【答案】A【解析】本题考查函数的单调性. 由，则若，则，所以f(x)是R上的增函数，所以，选项A有，满足要求，故选A.4下列函数中，满足的单调递增函数是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查
2、函数的单调性. A.，故不满足条件；B. 同理也不满足条件；C.，但它是单调递减的，故不满足条件；D. 同C选项，满足，同时它是递增函数，正确. 故选择D选项.5函数，恒过定点A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查对数函数的图象与性质. 令x+1=1，则x=0，所以f(x)过定点(0, 4).6已知函数，则A.B.2C.D.【答案】D【解析】本题考查分段函数的概念.7三个数的大小顺序是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题考查指数、对数运算，不等关系与不等式.因为，即.选D.8已知函数，R上满足：对任意，都有，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查分段函数的概念及单
3、调函数的性质. 因为的两段函数分别都是单调递减的，且对任意，都有，所以f(x)在R上也是单调的，所以有，即9设xR,定义符号函数sgnx=则A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx【答案】D【解析】本题主要考查函数的新定义问题,意在考查考生的数据处理能力与分类讨论能力.当x0时,|x|=x,sgnx=1,则|x|=xsgnx;当x0时，f(x)=，故f(x)在上单调递增，故选择B.11已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么A.有最小值0，无最大值B.有最小值，无最大值C.有最大值1，无最小值D.无最小值，也无最大值【答案】B【
4、解析】本题考查指数函数的图象与性质及函数的最值. 在同一坐标系中画出函数和的图象，根据题意，可以得到函数F(x)的图象，显然有最小值-g(0)=-1，没有最大值，故选择B.12已知定义域为R的函数是奇函数，当时，且对，恒有，则实数a的取值范围为A.B.C.D.【答案】C【解析】本题考查函数的奇偶性. 画出f(x)在时的图象，因为，所以图像过原点. 又f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称，将的图象关于原点作对称变换便可以得到R上的f(x)的图象. 由图象可以看到，f(x)在区间上单调递增，故显然有. 当时，若要使得，则需令，即二、填空题：共4题13函数的定义域为.【答案】【解析】本题考查函数的
5、概念. 为使函数有意义，需令，即14若函数的图像关于y轴对称，则的单调减区间为.【答案】【解析】本题考查函数的图象. 若函数的图像关于y轴对称，则a=0，所以f(x)的单调减区间为.15某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是小时.【答案】24【解析】本题是指数函数的简单应用题,考查幂的运算法则及函数与方程思想.由题意得,即,所以该食品在33 的保鲜时间是y=e33k+b=eb=()3192=24(小时).16
6、对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，定义函数，下列命题中正确命题的序号.函数的最大值为1；函数的最小值为0；方程有无数个解；函数是增函数;对任意的，函数满足;函数的图像与函数的图像的交点个数为10个.【答案】【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性、最值、图象及零点的概念. 因为，所以，因此f(x)没有最大值，有最小值为f(n)=0，正确；画出f(x)的图象，可以发现y=与f(x)交于无数点，所以方程有无数个解，正确；显然f(x)不是增函数，错误；对于任意的，假设（），则，正确；由于f(10)=0，故交点个数为9个，错误.三、解答题：共6题17计算下列各式的值(1)(2)【答案】(1)=
7、(2)=【解析】本题考查指数幂及对数的运算.18已知函数是R上的奇函数，且当时，.(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间和值域.【答案】函数是定义在R上的奇函数，.当时，.函数的解析式为函数图象如图所示：由图象可知函数的单调递减区间为，无单调递增区间，值域为(-1,1)【解析】本题考查指数函数的图象与性质. (1)由f(x)在上的关系式，利用f(x)的奇偶性，求出其在上的解析式，并且有f(0)=0，组后用分段函数的形式表示出来. (2)由函数解析式，结合指数函数的图象画出f(x)的图象，观察图象，易得到它的单调区间及最值.19函数(k,a为常数，且)的图象经过点
8、.(1)求函数的解析式；(2)若函数是奇函数，求b的值；(3)在(2)的条件下判断函数的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】(1)函数的图象过点A(0，1)，B(3，8)，解得，f(x)=2x(2)由(1)得，则2x10，解得x0，函数g(x)定义域为(，0)(0，+)函数g(x)是奇函数，即，1+b2x=2x+b，即(b1)(2x1)=0对于x(，0)(0，+)恒成立，b=1其他方法作对也给分(3)由(2)知，且x(，0)(0，+)当x0时，g(x)为单调递减的函数；当x0时，g(x)也为单调递减的函数，证明如下：设0x1x2，则0x1x2，g(x1)g(x2)，即g(x)为单调递减的函数
9、同理可证，当x0时，g(x)也为单调递减的函数.或利用奇函数的图像特征说明在(，0)的单调性也可【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性及奇偶性. (1)把A、B坐标代入解析式，求参数. (2)由奇函数的定义，g(x)必满足g(-x)=-g(x)，化简求值. (3)根据第二问求得的g(x)的解析式，利用定义法证明g(x)的单调性.20某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润与投入资金成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，其关系如图2所示(利润与资金的
10、单位：万元).(1)分别将A、B两个品牌的销售利润、表示为投入资金x的函数关系式；(2)该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？【答案】(1)因为品牌的销售利润与投入资金成正比，设，又过点，所以，所以品牌的销售利润与投入资金的算术平方根成正比，设，又过点，所以，所以设，(2)设总利润为,投入品牌为万元，则投入品牌为万元，则令，则当时，即时，投入品牌为：，答：投入品牌万元、品牌万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为万元.【解析】本题考查函数模型及其应用. (1)根据题目描述的函数关系，找到它
11、们所属的函数模型，使用待定系数法设出函数表达式，再将点的坐标代入求得参数，得到关系式. (2)列出关系式，可以发现是二次函数关系，故利用二次函数的性质求其最值.21已知函数对任意实数恒有，且当时，又.(1)判断的奇偶性及单调性并证明你的结论；(2) 若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)取xy0，则f(00)2f(0)，f(0)0.取yx，则f(xx)f(x)f(x)，f(x)f(x)对任意xR恒成立，f(x)为奇函数.任取x1，x2(，)，且x10，f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x2)f(x2).f(x)是R上的减函数.(2)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2
12、)f(2x)f(x)f(2)，则f(ax22x)x2，当a0时，2xx2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a0时，ax22xx20，要使不等式恒成立，则98a；当a0在R上不是恒成立，不合题意.综上所述，a的取值范围为(，).【解析】本题考查函数的概念、函数的单调性与奇偶性. (1)由关系式，巧设变量，证明f(x)f(x). 单调性的证明需利用关系式以及函数的奇偶性，将f(x1)转化为证得f(x1)f(x2). (2)仍旧利用关系式将原不等式转化为左右两边相同的形式，再由单调性，得到一个含参变量的恒成立的二次不等式，故要讨论参数，由恒成立关系求出a的范围.22已知函数，其反函数为.(1)若的定义
13、域为R，求实数m的取值范围；(2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.【答案】()由函数，可得其反函数为y=，因为定义域为R，即有mx2+2x+10恒成立，所以，解得m(1，+)；()令，即有y=t22at+3=(ta)2+3a2，当a2，区间，2为减区间，t=2时，ymin=74a；当a2，t=a时，ymin=3a2；当a，区间，2为增区间，t=时，ymin=a.则；()h(x)=74x，x(2，+)，且h(x)在x(2，+)上单调递减.所以，两式相减得，m+n=4，与mn2矛盾，所以不存在m，n满足条件.【解析】本题考查反函数和对数函数的概念及函数的最值. (1)由对数函数的概念，必有mx2+2x+10，由此解得m范围. (2)使用换元法将此函数转化为简单的二次函数，由对称轴和给定区间的关系讨论最值. (3)由h(x)的单调性得，可得到矛盾，故不存在这样的m、n满足条件.
