1、第14课时 抛物线的简单几何性质 新知识预习探究知识点抛物线的几何性质【练习】(1)抛物线 y4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 到 x 轴的距离是()A.1716 B.78 C1 D.1516(2)顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是()Ax216y Bx28yCx28y Dx216y解析：(1)抛物线方程可化为 x214y 其准线方程为 y 116，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离，点 M 到 x 轴的距离是1516.(2)顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0)由顶点到准线的距离为 4 知
2、p8，故所求抛物线方程为 x216y，x216y.答案：(1)D(2)D新视点名师博客抛物线的性质特点(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为 1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为 p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.新课堂互动探究考点一求抛物线的标准方程 例
3、 1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2y24 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程分析：因为圆和抛物线都关于 x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被 x 轴垂直平分，于是由弦长等于 2 3，可知交点纵坐标为 3.解析：如图，设所求抛物线的方程为 y22px(p0)或 y22px(p0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，则|y1|y2|2 3，即 y1y22 3，由对称性知 y2y1，y1 3.将 y1 3代入 x2y24 得 x1，点(1，3)、(1，3)分别在抛物线 y22px、y22px 上32p 或 3(2
4、p)(1)，p32.故所求抛物线的方程为 y23x 或 y23x.点评：用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要解答步骤归结如下：变式探究 1 设抛物线 y2mx(x0)的准线与直线 x1 的距离为3，求抛物线的方程解析：当 m0 时，2pm，pm2，抛物线的准线方程为 xm4，依题意，1m4 3，m8，抛物线的方程为 y28x.当 m0 时，2pm，pm2，抛物线的准线方程为 xm4，依题意1m4 3，m8 或 m16，显然 m8 不合题意，m16，抛物线的方程为 y216x.综上，抛物线的方程为 y28x 或 y216x.考点二抛物线几何性质的应用例 2 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，
5、直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程分析：求A、B的坐标 求出弦长|AB|写出AOB的面积，利用面积列方程解.解析：由题意，抛物线方程为 y22px(p0)，焦点 Fp2，0，直线 l：xp2，A、B 两点坐标为p2，p，p2，p，|AB|2|p|，OAB 的面积为 4，12p2 2|p|4，p2 2.抛物线方程为 y24 2x.点评：抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件，例 2 的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而表示面积求出 m.
6、变式探究 2 已知 A、B 是抛物线 y22px(p0)上两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程解析：抛物线的焦点 Fp2，0抛物线关于 x 轴对称，|OA|OB|ABO 为等腰三角形A、B 两点关于 x 轴对称设 A(x0，y0)，则 B(x0，y0)，ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，BFOA.则 kBFkOA1，即y00 x0p2y0 x01.又y202px0，x052p.直线 AB 的方程为 x5p2.考点三与抛物线有关的最值问题例 3 已知定点 A(4,3)，点 B 是抛物线 y24x 上的动点，F 为焦点，当|AB|BF|
7、取最小值时，求 B 点的坐标分析：根据抛物线定义，将|BF|转化为点 B 到准线的距离，数形结合求解解析：抛物线中 p2，准线 x1，过 A，B 分别作准线的垂线 BN，AM，垂足为 N，M，如图由定义知|BN|BF|，所以|AB|BF|AB|BN|AM|(定值)，当且仅当 B 是 AM 与抛物线的交点，即三点 A，B，M 共线时，|AB|BF|取最小值为 5，此时 B 点坐标为 B94，3.点评：与抛物线最值有关的问题的解题技巧与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧变式探究 3 设 P 是
8、抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析：(1)抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.点 P 到准线 x1 的距离等于 P 到点 F(1,0)的距离问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到 A(1,1)的距离与P 到 F(1,0)的距离之和最小显然 P 是 A、F 的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|5.(2)同理|PF|与点 P 到准线的距离相等，如图：过点 B 作 BQ准线于点 Q，交抛物线于点 P1.|P1Q|P1F|，|PB|PF|P1B|P1Q|
9、BQ|4.|PB|PF|的最小值为 4.新思维随堂自测1.顶点在原点，焦点为 F32，0 的抛物线的标准方程是()Ay232x By23xCy26x Dy26x解析：抛物线的焦点为32，0，p3，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为 y26x.答案：C2P 为抛物线 y22px(p0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与 y 轴的位置关系为()A相交 B相离C相切 D不确定解析：设 PF 的中点 M(x0，y0)，作 MNy 轴于 N 点，设 P(x1，y1)，则|MN|x012(|OF|x1)12x1p2 12|PF|.故相切答案：C3已知点 A(0,2)，B(2,0)若
10、点 C 在函数 yx2 的图象上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为()A4 B3C2 D1解析：设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 xy20，|AB|2 2，由于ABC 的面积为 2，则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程122 2h2，即 h 2，由点到直线的距离公式得 2|tt22|2，即|t2t2|2，即 t2t22 或 t2t22，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点 C 有 4 个答案：A4已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|2，则|BF|_.解析：设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦点
11、 F(1,0)，|AF|x112，x11，直线 AF 的方程是 x1，此时弦 AB 为抛物线的通径，故|BF|AF|2.答案：25抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设所求点(x0，y0)，则 x20y20 x0142，又 y20 x0，x018.y0 24.答案：18，246抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程解析：当抛物线的焦点在 x 轴正半轴上时，设抛物线方程为 y22px(p0)，焦点坐标为12p，0.直线过点12p，0 且倾斜角为 135，直线方程为 yx12p.设直线交抛物线于 A(
12、x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p8.由 yx12p，y22px，消去 y，得 x23pxp24 0.x1x23p.由得 p2，所求抛物线方程为 y24x.当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为 y24x.综上，所求抛物线的方程为 y24x 或 y24x.辨错解走出误区易错点 考虑问题时思维不严密致错【典例】动点 M(x，y)到 y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小 2，求动点 M(x，y)的轨迹方程错解：动点 M 到 y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小 2，动点 M 到定点(2,0)的距离与它到定直线 x2 的距离相等，动点 M 的轨迹是以(2
13、,0)为焦点，x2 为准线的抛物线，且 p4，抛物线的方程为 y28x，即所求动点 M 的轨迹方程为 y28x.错因分析：错解只考虑了一种情况在此题中，(2,0)到 y 轴的距离为 2，所以 x 轴上原点左侧的点也满足题中条件正解：动点 M 到 y 轴的距离比它到定点(2,0)的距离小 2，动点 M 到定点(2,0)的距离与它到定直线 x2 的距离相等，动点 M 的轨迹满足以(2,0)为焦点，x2 为准线的抛物线，且 p4，抛物线的方程为 y28x.又 x 轴上原点左侧的点到 y 轴的距离比它到点(2,0)的距离小 2，点 M 的轨迹方程也满足方程 y0(x0)综上，动点 M 的轨迹方程为 y0(x0)，或 y28x.
