1、课时作业52直线与椭圆的位置关系一、选择题1直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是(B)A(1，)B(1,3)(3，)C(3，)D(0,3)(3，)解析：由得(m3)x24mxm0.由0且m3及m0得m1且m3.2设直线ykx与椭圆1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于(A)ABCD2解析：由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c1，当k0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1，y2，解得k；同理可得当kb0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以
2、，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于(B)A3BC或3D解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan45(x1)，即yx1.代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x.所以两个交点坐标为A(0，1)，B，所以(0，1).同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.5斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(C)A2 B.C. D.解析：设直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意知(2t)25(
3、t21)0即t2b0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF(B)A60B90C120D150解析：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程ykxa(k0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2a2k2)x22ka3xa4a2b20，由(2ka3)24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa交x轴于点A，又F(c,0)，易知0，故ABF90.7(多选题)设椭圆的方程为1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点下列结论正确的是(BD)A直线AB与OM垂直B若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2xy30C若直
4、线方程为yx1，则点M坐标为D若直线方程为yx2，则|AB|解析：对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kABkOM21，所以A项不正确；对于B项，根据kABkOM2，所以kAB2，所以直线方程为y12(x1)，即2xy30，所以B项正确；对于C项，若直线方程为yx1，点M，则kABkOM1442，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为yx2，与椭圆方程1联立，得到2x2(x2)240，整理得：3x24x0，解得x10，x2，所以|AB|，所以D正确；故选BD.8.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若k，则椭圆C的离
5、心率的取值范围是(C)A. B.C. D.解析：由题意可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k，所以，化简可得，从而可得e，选C.二、填空题9直线ykxk1与椭圆1的位置关系是相交解析：由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交10已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是.解析：由0bb0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF，则椭圆C的离心率e.解析：设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由
6、余弦定理可解得|BF|8，所以ABF为直角三角形，且AFB90，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，所以2a14，a7，所以离心率e.三、解答题12已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形(1)求椭圆E的离心离；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x1)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得1，即a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e.(2)由(1)得椭圆E的方程为1，易知直线l的斜率存在，设
7、其方程为yk(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.x1x2，x1x2.又x1x22，k，x1x2，则|AB|2，b2，则a210，椭圆E的标准方程为1.13已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k12k20，求直线F1M的方程解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，a3，b2，c1.椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)，可知A(3
8、,0)，B(3,0)，F1(1,0)由题意，设直线F1M的方程为xmy1.记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2)联立得，消去x，得(8m29)y216my640，其判别式0.y1y2，y1y2.由3k12k20，得0，即5my1y26y14y20.由，解得y1，y2.y10，m0.y1y2，m.直线F1M的方程为xy1，即2xy20.14已知椭圆C：1，过点P(2，1)作两条直线分别交椭圆C于M，N两点(M，N与点P不重合)，且0，则直线MN一定过点(，)解析：当直线PM的斜率不存在时，M(2，1)，N(
9、2,1)，直线MN的方程为yx.当直线PM的斜率存在且不为零，直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为ykxt，所以(x12，y11)，(x22，y21)，因为0，所以(x12，y11)(x22，y21)x1x22(x1x2)y1y2(y1y2)50，由，消去y，得(12k2)x24ktx2t260，由根与系数的关系，知x1x2，x1x2，所以y1y2，y1y2t2，所以t250，整理得3t2(8k2)t4k210，即(3t2k1)(t2k1)0，因为直线MN不过点P(2,1)，所以t2k10，所以3t2k10，此时直线MN的方程可化为ykxk，即yk
10、(x)，所以直线MN恒过定点(，.点(，)也在直线yx上，所以直线MN恒过定点(，)当直线MN的斜率不存在时，检验知直线MN过点(，)，所以所求的定点坐标为(，)15已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于B，|AB|F2B|，|OB|(O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm(k0)分别与l1，l2交于点M，N，求证：MF1NMF2N.解：(1)如图，连接AF2，由题意得|AB|F2B|F1B|，所以BO为F1AF2的中位线，又BOF1F2，所以AF2F1F2，且|AF2|2|BO|，又e，a2b2c2，所以a29，b28，故所求椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)可得，F1(1,0)，F2(1,0)，l1的方程为x3，l2的方程为x3.由得，由得，所以M(3，3km)，N(3,3km)，所以(2，3km)，(4,3km)，所以8m29k2.联立得，得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N.同理可得，MF2N.故MF1NMF2N.
