1、通州区20202021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021年1月考生须知1.本试卷分为两部分，共4页。总分为150分。考试时间为120分钟。2.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。3.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。4.考试结束后，请将答题卡交回。第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合，则A B C D 2抛物线的准线方程是A B C D3已知命题，则是A， B，C， D，4. 已知数列为等差数列，且，则数列的前项和是A B
2、 C D5从名教师和名学生中，选出人参加“我爱我的祖国”主题活动要求入选的人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A B C D 6已知，且，则下列不等式中一定成立的是A B C D7已知角的终边与单位圆交于点，则A B C D 8在中，且，则的最小值是A B C D 9如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽. 若水面下降，则水面宽是（结果精确到） （参考数值：，） A B C D 10如图，等腰直角中，点为平面外一动点，满足，给出下列四个结论：存在点，使得平面平面；存在点，使得平面平面；设的面积为，则的取值范围是； 设二面角的大小为，则的取值范围是. 其中正确结论是A B C D
3、第二部分卷 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11复数（是虚数单位）的虚部是 12在的展开式中，的系数是 13在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是 14某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示月份，和是正整数，统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：该地区月平均最高气温最高的月份与最低的月份相差摄氏度； 月份该地区月平均最高气温为摄氏度，随后逐月递增直到月份达到最高；每年相同的月份，
4、该地区月平均最高气温基本相同 根据已知信息，得到的表达式是_. 15已知函数若存在，使得，则的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16（本题13分）如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，分别是，的中点，. （）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值. 17（本题13分）在锐角中，角，的对边分别为，设的面积为，已知，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求与的值. 条件：；条件：；条件：注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分18（本题14分）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽
5、样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用使用不使用A款APP人人人人B款APP人人人人假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.（）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（）从该企业男，女职工中各随机抽取人，记这人中使用A款APP的人数为，求的分布列及数学期望； （）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占、女性占；B款APP的用户中男性占、女性占.试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.19（本题15分）已知函数. （）求曲线在点处的切线方
6、程；（）设函数，当时，求零点的个数. 20（本题15分）已知椭圆的左、右顶点分别为点，且，椭圆离心率为. （）求椭圆的方程；（）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上. 21（本题15分）已知数列：，（）满足： ；（，）. 记.（）直接写出的所有可能值；（）证明：的充要条件是；（）若，求的所有可能值的和. 通州区2020-2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷参考答案及评分标准 2021年1月 一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案A B DC B CCA B B 二填空题：本大题共5小题，每小题5分
7、，共25分.11. 12. 13. 14. ，是正整数且， 15. 三解答题：本大题共6小题，共85分.16（本题13分） 解：（）证明：取的中点，连接，. 1分因为是的中点，所以，.因为是的中点，所以，.所以，. 所以四边形是平行四边形. 所以. 5分因为平面，平面，所以平面. 6分（）因为底面为矩形，平面，所以，. 7分以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系. 8分 因为，所以，. 所以，. 设平面的法向量为，所以 即 令，则. 所以. 11分所以所以直线与平面所成角的正弦值. 13分17（本题13分）解（一）：选择条件：；条件：. 因为，所以，即. 所以. 4分因为是锐角三
8、角形，所以. 7分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 10分由正弦定理可得. 所以. 13分所以，. 解（二）：选择条件：；条件：因为， 所以. 4分由正弦定理可得. 所以. 8分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 13分 所以，. 解（三）：选择条件：；条件：因为， 所以. 3分因为，所以，即.所以. 7分由余弦定理可得. 所以. （负值舍去） 10分由正弦定理可得. 所以. 13分 所以，. 18（本题14分） （）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为；同理，女职工使用A款APP的概率约为. 3分（）的可能取值为，. 4分
9、所以；. 7分所以的分布列为 9分的数学期望. 11分（）样本中，A款APP的男、女用户为（人），其中男用户占；女用户占.样本中，B款APP的男、女用户为（人），其中男用户占；女用户占.所以该企业职工使用B款APP的情况与官方发布的男、女用户情况更相符. 14分19（本题15分）解：（）因为，所以. 所以，. 所以曲线在点处的切线方程是，即. 3分（）因为，所以. 所以. 4分当时，. 所以在上单调递减. 因为，所以有且仅有一个零点. 6分当时，令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 7分因为，所以在上有且仅有一个零点. 8分因为，且，所以，使得. 所以在上有且仅有一个零点.所以当
10、时，有两个零点. 12分当时，. 令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，且. 所以有且仅有一个零点. 14分综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 15分20（本题15分）解：（）因为，椭圆离心率为，所以 解得，. 所以椭圆的方程是. 3分（）若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是. 所以点的坐标是，点的坐标是. 所以直线的方程是，直线的方程是. 所以直线，的交点的坐标是. 所以点在直线上. 5分若直线的斜率存在时，如图. 设斜率为. 所以直线的方程为. 联立方程组消去，整理得. 6分显然. 不妨设，所以，. 8分所以直线的方程是. 令，得. 直线的方程是. 令，得. 10分所以分子. . 15分所以点在直线上. 21（本题15分）解：（）的所有可能值是，. 3分（）充分性：若，即. 所以满足，且前项和最小的数列是，. 所以. 所以. 6分必要性：若，即. 假设，即. 所以，与已知矛盾. 所以. 8分综上所述，的充要条件是. （）由（）知，可得. 所以. 因为数列，（）中有，两种，有，两种，有，两种，有，两种，有一种，所以数列，（）有个，且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前项和是. 所以这个数列的前项和是.所以的所有可能值的和是. 15分
