1、第26课时 两个平面垂直的判定和性质习题课（二）教学目标：通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中的体现、渗透。教学重点：两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。教学难点：找求问题解决的突破口，转化思想渗透。教学过程：1复习回顾：1）二面角的平面角找法依据.2）三垂线定理及逆定理.2讲授新课：师前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.
2、找无棱二面角的棱依位置可分二类，例1：如图，在所给空间图形中ABCD是正方形，PD面ABCD，PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.师面PAD和面PBC图中只给出一个公共点，那么怎样找棱呢？请思考.生作线在面内进行，BCAD则经BC的平面与面PAD的交线应平行，由此想到经P作BC或AD平行线，找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下：解：经P在面PAD内作PEAD，AE面ABCD，两线相交于E，连BEBCAD则BC面PAD面PBC面PADPEBCPE因PD面ABCD，BCCD那么BCPC，BC面PDC即有PE面PDCPEPD，PEPCCPD就是所求二面角的平面角因PDAD，而AD
3、DCCPD=45即面PAD与面PBC成角为45.师从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线，而平面角依垂面找到并求得.请同学归纳小结例1的解法，并完成例2. 例2：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC. 求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.师首先解释一下斜三棱柱，面ABC及面A1B1C1都是几何体底面且平行，CC1AA1BB1.生A是面AB1C1和面ABC的一个公共点，这两个面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行于B1C1，此题难点就是如何找平面角.师考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，
4、请同学思考.师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：因面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABCBC面BB1C1C面A1B1C1B1C1BCB1C1，则B1C1面ABC设所求两面交线为AE，即二面角的棱则B1C1AE，即BCAE经C1作C1DBC于D，因面BB1C1C面ABCC1D面ABC，C1DBC又C1CD60,CC1a故CD即D为BC中点又ABC是等边三角形BCAD那么有BC面DAC1即AE面DAC1故AEAD，AEAC1C1AD就是所求二面角的平面角.因C1Da，ADa，C1DAD故C1AD45.师请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方.生同例1，关键是找棱、找角、
5、而找角较难.师继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？例3：如图，几何体中 AA1BB1CC1，AA1面ABC，ABC为正三角形，面A1EC面AC1，EBB1，AA1A1B1，求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.师此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点，观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB内，找到点后，二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解：A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点，只需找到另一个公共点，即可.
6、因AA1A1B1A1C1，连AC1则AC1A1C，AC1A1CO取BB1的中点E，连EO因面ABC是正三角形，则经B作BGAC有BG面AC1，OEBGOE面AC1因面A1EC面AC1，故E是BB1中点那么EB1CC1CE与B1C1延长后必交于一点F，即F为面A1EC，面A1B1C1的另一个公共点连A1F，则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱因FB1B1C1A1B1，A1B1F120FA1B130那么C1A1F90即A1C1A1F那么CA1A1F（三垂线定理）CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.CA1C145，因AA1BB1CC1而面ABC面A1B1C1面A1EC与面ABC所成二面角大小为45.师找公共点F是解此题关键，例1、2是通过公共点作棱，例3是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.例1、2找棱的方法不妨叫“作平行线”，例3的方法叫“找公共点”.师问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点，解决方法总会找到，“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.3课时小结：依图形结构，对两类问题（例1、2为一类，例3为一类）分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。4课后作业：- 3 -
