1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.1.2空间向量基本定理必备知识自主学习1.空间中共线向量与共面向量定理(1)共线向量定理中，去掉条件“a0”可以吗？提示：不可以若ba可得ba，反之，若ba，当a0且b0时，ba就不成立了(2)共面向量定理与平面向量的基本定理有什么关系？提示：空间向量的共面向量定理与平面向量的基本定理实质相同2空间向量基本定理(1)定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.(2)相关概念：名称内容
2、线性组合或线性表达式表达式xaybzc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式基底与基向量不共面的三个向量a，b，c组成的集合a，b，c，称为空间向量的一组基底，此时a，b，c都称为基向量分解式如果pxaybzc，则称xaybzc为p在基底a，b，c下的分解式零向量可以作为基向量吗？为什么？提示：不能零向量与任意向量共面，所以零向量不能作为基向量1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若存在唯一的实数对(，)，使ae1e2(其中e1，e2不共线)，则向量a，e1，e2共面()(2)任意三个向量都可构成空间的一组基底()(3)如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xaybzc可
3、以生成部分空间向量()提示：(1).(2).任意三个不共面向量都可构成空间的一组基底(3).如果所给向量a，b，c不共面，那么它们的线性组合xaybzc可以生成所有的空间向量2如果空间向量a，b不共线，且abaxb，则x()A1 B1 C0 D不存在【解析】选B.根据共面向量定理知，x1.3.(教材例题改编)如图，点M为OA的中点，为空间的一组基底，xyz，则有序实数组(x，y，z)_【解析】，所以有序实数组(x，y，z).答案：关键能力合作学习类型一空间向量的共线问题(逻辑推理)1.已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D D
4、A，C，D2设空间四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D与的方向一定相同3设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_【解析】1.选A.因为3a6b3(a2b)3，故，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线2选A.已知mn1，则m1n，(1n)nnnn()n.因为0，所以和共线，即点A，P，B共线3因为7e1(k6)e2，且与共线，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又因为e1，e2不共线，所
5、以解得故k的值为1.答案：1共线向量定理还可用于证明两向量(直线)平行或证明三点共线，其解题策略是：(1)充要条件：若ab，a0，则存在唯一实数使ba；若存在唯一实数，使ba，a0，则ab.(2)关键：找到实数.【补偿训练】如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点则与_共线(填“是”或“否”)【解析】因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，所以.又因为，所以，所以22()2，所以，即与共线答案：是类型二空间向量的共面问题(逻辑推理)【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别
6、在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：向量，共面四步内容理解题意条件：矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直；BMBD，ANAE.结论：向量，共面思路探求利用共面向量定理解答书写表达因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面注意：相同的推导过程可以用“同理”；不要漏掉“与不共线”题后反思判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面(2)若存在
7、有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是PAB，PBC，PCD，PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并连接MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面【证明】因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，即四边形MNQR为平行四边形，且有，.所以()()().所以由共面向量定理得，共面，所以E，F，G
8、，H四点共面类型三空间向量基本定理及其应用(直观想象、逻辑推理)角度1基底的概念【典例】若向量a，b，c是空间的一组基底，向量mab，nab，那么可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是()Aa Bb Cc D2a【思路导引】向量a，b，c是空间的一组基底的充要条件为a，b，c不共面，逐一按此标准检验即可【解析】选C.向量a，b，c是空间的一组基底，则a，b，c不共面，对于选项A：a(ab)(ab)mn，故a，m，n共面，故A错误，对于选项B：b(ab)(ab)mn，故b，m，n共面，故B错误，对于选项C：c，m，n不共面，故可以构成空间的另一组基底，故C正确，对于选项D：由选项A得2amn，
9、故2a，m，n共面，故D错误本例若改为“已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，”则与a，b不能构成空间基底的向量是()A B C D或【解析】选C.因为()()(ab)，所以与a，b不能构成空间基底角度2空间向量基本定理的应用【典例】如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.【思路导引】借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来【解析】()()ba(cb)bacbabc.ab()ab(cb)abc.1基底的判断方法判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它
10、们是否共面，如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断2用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来1.在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG3GD，a，b，c，_(用基底a，b，c表示向量)【解析】在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG3GD，a，b，c，()abc.答案：abc2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且xyz，则x
11、yz的值为_【解析】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，则xyz，所以xyz11.答案：3已知e1，e2，e3是空间的一组基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一组基底？【解析】假设，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使xy成立所以e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.因为e1，e2，e3是空间的一组基底，所以e1，e2，e3不共面，所以此方程组无解，即不存在实数x，y使xy成立所以，不共面故，能作为空间的一组基底课堂检测素养达标1给出的下列几个命题：向量a
12、，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb；零向量的方向是任意的；若ab，则存在唯一的实数，使ab.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选B.只有为真命题2(教材练习改编)在四面体OABC中，空间的一点M满足，若，共面，则()A B C D【解析】选D.由，共面知，1，解得.3.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_【解析】因为()，所以OC1CC1()答案：4若a，b，c是空间的一组基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_【解析】若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间向量的一组基底，知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.答案：xyz05在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_【解析】延长DE交边BC于点F，则，故0.答案：0关闭Word文档返回原板块
